Редактирование: Схема Бернулли

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
{{Определение
+
'''Распределение Бернулли '''   {{---}}   описывает ситуации, где "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех", например, при бросании монеты, или при моделировании удачной или неудачной хирургической операции.  
|definition=
+
== Определение ==
'''Схемой Бернулли''' (англ. ''Bernoulli scheme'') называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода {{---}} «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью  <tex> p \in (0, 1)</tex> , а неудача {{---}} с вероятностью <tex> q = 1 - p </tex>.
 
}}
 
  
== Распределение Бернулли==
 
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
'''Распределение Бернулли''' (англ. ''Bernoulli distribution'')   {{---}}  описывает ситуации, где "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех".
+
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью  <tex> p \in \mathbb (0, 1)</tex> , а неудача — с вероятностью <tex> q =1 - p </tex>.
 
}}
 
}}
[[Дискретная случайная величина | Случайная величина]] <tex>\xi</tex> с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью <tex>p</tex> успеха : ни одного успеха или один успех. Функция распределения <tex> \xi</tex> имеет вид
+
Обозначим через <tex> v_{n} </tex> число успехов, случившихся в <tex> n</tex> испытаниях схемы Бернулли. Эта (случайная) величина может принимать целые значения от 0 до <tex>n</tex> в зависимости от результатов испытаний. Например, если все <tex>n </tex> испытаний завершились неудачей, то величина <tex> v_{n} </tex> равна нулю.
  
<tex>  
+
{{Теорема
F_{\xi}(x) = P(\xi < x) \begin{cases}
+
|id=th1
0, & x\leqslant 0 \\
+
|statement=
1 - p, & 0 < x \leqslant 1\\
+
Для любого <tex >k = 0, 1, . . . , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex>испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex>P(v_{n} = k </tex> ) = <tex>C^k_n</tex>  <tex> p ^ {k} q ^ {n - k}</tex>
1, & x > 1
 
\end{cases}
 
</tex>
 
 
 
[[Файл:Распределение Бернулли.jpg‎]]
 
  
 +
|proof=
 +
Событие {<tex>A =  v_{n} </tex> = k} означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <tex>C^k_n</tex> cпособов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <tex>C^k_n</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна  <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
 +
(Набор вероятностей в  теореме называется биномиальным распределением вероятностей.)
 +
}}
 
== Биномиальное распределение ==
 
== Биномиальное распределение ==
{{Определение
+
Говорят, что случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' с параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex>  и <tex> p \in \mathbb(0, 1)</tex> и пишут: <tex> \xi \in \mathbb B_{n, p}</tex> если <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1 .. n</tex> с вероятностями <tex>P(\xi = k) = C^k_n p^k (1 - p)^{n - k} </tex> . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в <tex> n </tex> испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха <tex>p</tex>.
|definition=
 
Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' (англ. ''binomial distribution'') с параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex>  и <tex> p \in (0, 1)</tex> и пишут: <tex> \xi \in \mathbb B_{n, p}</tex> если <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1, \ldots ,n</tex> с вероятностями <tex >P(\xi = k) = </tex><tex > \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} </tex> .
 
}}
 
Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в <tex> n </tex> испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха <tex>p</tex>.  
 
  
Таблица распределения <tex> \xi </tex> имеет вид
+
== Пример ==
 +
Правильная монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз.
  
{| class="wikitable" style ="text-align:center"
+
Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.
|-
 
|<tex>\xi </tex>
 
| 0
 
| 1
 
| <tex>\ldots</tex>
 
| <tex>k</tex>
 
| <tex>\ldots</tex>
 
| <tex>n</tex>
 
|-
 
| <tex>P</tex>
 
| <tex>(1 - p) ^ n </tex>
 
| <tex>n \cdot p \cdot (1 - p)^{n - 1}</tex>
 
| <tex>\ldots</tex>
 
| <tex>\dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} </tex>
 
| <tex>\ldots</tex>
 
| <tex> p^n </tex>
 
|}
 
  
== Формула Бернулли ==
+
<tex>P(v_{10}</tex> = 4) = <tex>C^4_{10}\cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {4} \cdot  (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
Обозначим через <tex> v_{n} </tex> число успехов, случившихся в <tex> n</tex> испытаниях схемы Бернулли. Эта случайная величина может принимать целые значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> в зависимости от результатов испытаний. Например, если все <tex>n </tex> испытаний завершились неудачей, то величина <tex> v_{n} </tex> равна нулю.
 
  
{{Теорема
+
<tex>P(v_{10}</tex> = 5) = <tex>C^5_{10}\cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {5} \cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {10 - 5}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex>
|id=th1
 
|statement=
 
Для любого <tex >k = 0, 1, \ldots , n </tex> вероятность получить в <tex>n</tex> испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex> P(v_{n} = k ) = </tex> <tex dpi="145"> \dbinom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}</tex>
 
  
|proof=
+
<tex>P(v_{10}</tex> = 6) = <tex>C^6_{10}\cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {6} \cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {10 - 6} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
Событие <tex>\{A = v_{n} = k\}</tex> означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} \cdot (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> способов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна  <tex> p ^ {k} \cdot q ^ {n - k}</tex>
 
Набор вероятностей в  теореме называется биномиальным распределением вероятностей.
 
}}
 
  
== Геометрическое распределение ==
+
Сложим вероятности несовместных событий:
{{Определение
+
<tex>P(4)( \le </tex><tex> v_{10}</tex> <tex> \le </tex>6) = <tex>P( v_{10} </tex> = 4) + <tex>P( v_{10} </tex> = 5) + <tex>P( v_{10} </tex> = 6)  <tex> ~\approx ~ 0{.}656 </tex>
|definition=
 
'''Геометрическое распределение''' (англ. ''geometric distribution'') {{---}} распределение дискретной случайной величины, равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого успеха.
 
}}
 
  
 +
== Лемма ==
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|id=th1
 
|id=th1
 
|statement=
 
|statement=
Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, \ldots}</tex> равна <tex>P(r = k) = p \cdot q^ {k - 1} </tex>
+
Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, . . .},</tex> равна <tex>P(r = k) = pq^ {k - 1} </tex>
|proof=
 
Вероятность первым <tex> k - 1 </tex>  испытаниям завершиться неудачей, а последнему {{---}} успехом, равна <tex> P(r = k)  = p \cdot q^{k - 1} </tex>
 
}}
 
  
  
{{Теорема
 
|id=th1
 
|statement=
 
Пусть <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1} </tex> для любого <tex> k  \in \mathbb N </tex>. Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство:  <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>
 
 
|proof=
 
|proof=
По определению условной вероятности,
 
<tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \dfrac{P(r > n + k)}{P(r > n)} </tex>  <tex>\left(1\right)</tex>
 
Последнее равенство верно в силу того, что событие <tex> {r > n + k} </tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex> {r > n + k}</tex>. Найдём для целого <tex> m \geqslant 0</tex>  вероятность <tex> P(r > m)</tex> : событие <tex> r > m </tex> означает,что в схеме Бернулли первые <tex>m</tex> испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^{m}</tex>. Возвращаясь к формуле <tex>\left(1\right)</tex> получаем, что эта [[Дискретная случайная величина | случайная величина]]  равна <tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \dfrac{q^{n + k}} {q^{n}} =</tex> <tex> q^{k} = P(r > k)</tex>.
 
  
 +
Вероятность первым <tex> k </tex> − 1  испытаниям завершиться неудачей, а последнему — успехом, равна <tex> P(r = k)  = pq^{k - 1}  </tex>
 
}}
 
}}
  
== Обобщение (полиномиальная схема) ==
+
 
Обычная формула Бернулли применима на случай когда при каждом испытании возможно одно из двух исходов.
 
Рассмотрим случай, когда в одном испытании возможны <tex> m</tex> исходов: <tex>1, 2, \ldots , m,</tex> и <tex>i</tex>-й исход в одном испытании случается
 
с вероятностью <tex> p_{i}</tex> , где <tex>p_{1} + \ldots + p_{m} = 1</tex>.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1
 
|id=th1
 
|statement=
 
|statement=
Обозначим через <tex>P(n_{1}, \ldots , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex> n_{1}</tex> раз, второй исход {{---}} <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход {{---}} <tex>n_{m}</tex> раз тогда верна формула:
+
Пусть <tex> P(r = k) = pq^{k - 1} </tex> для любого <tex> k  \in \mathbb N </tex>. Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство:   <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>
<tex > P(n_{1}, \ldots , n_{m}) = </tex> <tex> \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot\ldots \cdot n_{m}!} \cdot {p_{1}}^{n_{1}} \cdot \ldots \cdot {p_{m}}^{n_{m}}
 
</tex>
 
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
+
По определению условной вероятности,
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}} \ldots p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, \ldots , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
+
<tex> P(r > n + k | r > n) = \genfrac{}{}{}{0}{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \genfrac{}{}{}{0}{P(r > n + k)}{P(r > n)} </tex> (9)
<tex>\dbinom{n}{n_1} \cdot\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_2} \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} \cdot\ldots \cdot  \dbinom{n - n_1 - n_2 - \ldots - n_{m -1}}{n_m} = \dfrac {n!}{n_{1}! \cdot  n_{2}! \cdot  \ldots \cdot  n_{m}!}
+
Последнее равенство верно в силу того, что событие <tex> {r > n + k} </tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex> {r > n + k}</tex>. Найдём для целого <tex> m \ge </tex> 0 вероятность <tex> P(r > m)</tex> : событие <tex> r > m </tex> означает,что в схеме Бернулли первые m испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^{m}</tex>. Возвращаясь к (9), получим <tex> P(r > n + k | r > n) = \genfrac{}{}{}{0}{P(r > n + k, r > n)}{P(r > n)} = \genfrac{}{}{}{0}{q^{n + k}} {q^{n}} = q^{k} = P(r > k)</tex>.
</tex>
+
==См. также==
 +
*[[Условная вероятность]]
 
}}
 
}}
  
== Примеры ==
+
== Пример ==
==== Правильная монета ====
 
Правильная монета подбрасывается <tex>10</tex> раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от <tex>4</tex> до <tex>6</tex> раз.
 
 
 
Вычислим отдельно вероятности получить <tex>4, 5</tex> и <tex>6</tex> гербов после десяти подбрасываний монеты.
 
 
 
<tex >P(v_{10} = 4) =</tex> <tex> \dbinom{10}{4} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^ {4} \cdot  \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
 
 
 
<tex >P(v_{10} = 5) = </tex> <tex>\dbinom{10}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {5} \cdot  \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 5}</tex><tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex>
 
 
 
<tex >P(v_{10} = 6) =</tex> <tex> \dbinom{10}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 6}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
 
 
 
Сложим вероятности несовместных событий:
 
<tex>P(4 \leqslant  v_{10} \leqslant 6) = P(v_{10} = 4) + P(v_{10} = 5) + P(v_{10}  = 6) ~\approx ~ 0{.}656 </tex>
 
 
 
==== Правильная игральная кость с двумя исходами ====
 
 
Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру.
 
Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру.
  
Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй {{---}} с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По лемме, <tex > P(A_{k}) =</tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{k - 1} </tex>
+
Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По лемме, <tex> P(A_{k}) = \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^{k - 1} </tex>
События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взаимоисключающих событий:
+
События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взимоисключающих событий:
<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup \ldots , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup \ldots </tex>
+
<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup . . . , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup . . .</tex>
 
Вероятности этих объединений равны суммам вероятностей слагаемых:
 
Вероятности этих объединений равны суммам вероятностей слагаемых:
  
<tex > P(A) =</tex><tex> \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4} \ldots = \dfrac{6}{11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события <tex>B</tex>
+
<tex> P(A) = \frac{}{}{}{0}{1}{6} + \frac{}{}{}{0}{1}{6} \cdot(\frac{5}{6})^{2} + \frac{1}{6}\cdot (\frac{5}{6})^{4} ... = \frac{6}{11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события В
  
<tex> P(B) =</tex> <tex> \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5} \ldots = \dfrac{5}{11}.
+
<tex> dpi="160" </tex>
 +
<tex>P(B) = \frac{1}{6} \cdot(\frac{5}{6})+ \frac{1}{6} \cdot(\frac{5}{6})^{3} + \frac{1}{6}\cdot (\frac{5}{6})^{5} ... = \frac{5}{11}.
 
  </tex>
 
  </tex>
  
==== Правильная игральная кость с тремя исходами ====
+
Рассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а с большим количеством возможных результатов в каждом испытании.
 +
 
 +
== Пример ==
 
Игральная кость подбрасывается пятнадцать раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.
 
Игральная кость подбрасывается пятнадцать раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.
Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани.  
+
Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоваться
 +
формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся. Попробуем вывести подходящую формулу. Пусть в одном испытании возможны <tex> m</tex> исходов: <tex>1, 2, . . . , m,</tex> и <tex>i</tex>-й исход в одном испытании случается
 +
с вероятностью <tex> p_{i}</tex>
 +
, где <tex>p_{1} + . . . + p_{m} = 1</tex>.
 +
Обозначим через <tex>P(n_{1}, . . . , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex>n_{1}</tex> раз, второй исход — <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход — <tex>n_{m}</tex> раз
  
Так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\dfrac{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\dfrac{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна
+
{{Теорема
 +
|id=th1
 +
|statement=
 +
Для любого <tex>n</tex> и любых неотрицательных целых чисел
 +
<tex> n_{1}, . . . , n_{m}</tex>, сумма которых равна <tex>n</tex>, верна формула:
 +
<tex> P(n_{1}, . . . , n_{m}) =( \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!})\cdot (p_{1})^(n_{1})\cdot... \cdot(p_{m})^(n_{m})
 +
</tex>
 +
|proof=
 +
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
 +
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}}...p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, . . . , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
 +
<tex>\binom{n}{n_1}\cdot\binom{n - n_1 - n_2}{n_2} \binom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} ...\cdot \binom{n - n_1 - n_2.. - n_{m -1}}{n_m} =
 +
\frac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!}
 +
</tex>
 +
}}
 +
Теперь мы можем вернуться к последнему примеру и выписать ответ: так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\genfrac{}{}{}{0}{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\genfrac{}{}{}{0}{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна
  
<tex > P(10, 3, 2) = </tex> <tex> \dfrac{15!}{10! \cdot 3! \cdot2!} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3} \cdot \left(\dfrac{4}{6}\right)^{2}
+
<tex> P(10, 3, 2) = {15!\over 10! \cdot 3! \cdot 2!} \cdot ((\frac{1}{6})^(10)) \cdot (({1\over 6})^3)\cdot(({4\over6})^2)
 
</tex>
 
</tex>
  
Строка 146: Строка 106:
 
*[[Математическое ожидание случайной величины]]
 
*[[Математическое ожидание случайной величины]]
  
==Источники информации==
+
==Литература==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Бернулли Википедия {{---}} Распределение Бернулли]
+
*Н.И Чернова 'Теория вероятности' Учебное пособие СибГУТИ— Новосибирск, 2009.
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное_распределение Википедия {{---}} Биномиальное распределение]
 
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Бернулли Википедия {{---}} Формула Бернулли]
 
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическое_распределение Википедия {{---}} Геометрическое распределение]
 
*''Н.И Чернова'' Теория вероятности {{---}} Новосибирск, 2009.
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)