Схема алгоритма Диница — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Асимптотика алгоритма)
Строка 19: Строка 19:
  
 
=== Асимптотика алгоритма ===
 
=== Асимптотика алгоритма ===
{{Утверждение
+
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
 
Расстояние между истоком и стоком строго увеличивается после каждой фазы алгоритма, т.е. <tex>d'[t] > d[t]</tex>, где <tex>d'[t]</tex> — значение, полученное на следующей фазе алгоритма.
 
Расстояние между истоком и стоком строго увеличивается после каждой фазы алгоритма, т.е. <tex>d'[t] > d[t]</tex>, где <tex>d'[t]</tex> — значение, полученное на следующей фазе алгоритма.
Строка 27: Строка 27:
 
Поскольку длина кратчайшего <tex>s \leadsto t</tex> пути не может превосходить <tex>n - 1</tex>, то, следовательно, алгоритм Диница совершает не более <tex>n - 1</tex> фазы.
 
Поскольку длина кратчайшего <tex>s \leadsto t</tex> пути не может превосходить <tex>n - 1</tex>, то, следовательно, алгоритм Диница совершает не более <tex>n - 1</tex> фазы.
 
Таким образом, в зависимости от того, каким алгоритмом нахождения блокирующего потока мы пользовались, весь алгоритм Диница может выполняться за <tex>O(VE^2)</tex> или за <tex>O(V^2E)</tex>. Также возможно достичь асимптотики <tex>O(VE\log V)</tex>, если использовать динамические деревья Слетора и Тарьяна.
 
Таким образом, в зависимости от того, каким алгоритмом нахождения блокирующего потока мы пользовались, весь алгоритм Диница может выполняться за <tex>O(VE^2)</tex> или за <tex>O(V^2E)</tex>. Также возможно достичь асимптотики <tex>O(VE\log V)</tex>, если использовать динамические деревья Слетора и Тарьяна.
 +
 
==Реализация==
 
==Реализация==
 
   <tex>bfs()</tex>
 
   <tex>bfs()</tex>

Версия 08:56, 17 января 2012

Определение слоистой сети

Слоистая сеть с пятью слоямию. s = 0, t = 6

Для начала определим для каждой вершины [math]v[/math] данной сети [math]G[/math] длину кратчайшего [math]s \leadsto v[/math] пути из истока и обозначим ее [math]d[v][/math] (для этого можно воспользоваться обходом в ширину).
В слоистую сеть включаем только те ребра [math](u,v)[/math] исходной сети, для которых [math]d[u] + 1 = d[v][/math]. Полученная сеть ациклична, и любой [math]s \leadsto t[/math] путь во вспомогательной сети является кратчайшим путём в исходной, из свойств обхода в ширину.
В примере ребра, обозначенные пунктиром, не входят в слоистую сеть.

Алгоритм

Пусть дана сеть. Требуется найти в этой сети поток [math]f(u,v)[/math] из [math]s[/math] в [math]t[/math] максимальной величины.

Схема алгоритма

  1. Для каждого ребра [math](u,v)[/math] данной сети [math]G[/math] зададим [math]f(u,v) = 0[/math].
  2. Построим вспомогательную сеть [math]G_L[/math] из дополняющей сети [math]G_f[/math] данного графа [math]G[/math]. Если [math]d[t] = \infty[/math], остановиться и вывести [math]f[/math].
  3. Найдем блокирующий поток [math]f'[/math] в [math]G_L[/math]..
  4. Дополним поток [math]f[/math] найденным потоком [math]f'[/math] и перейдем к шагу 2.

Корректность алгоритма

Покажем, что если алгоритм завершается, то на выходе у него получается поток именно максимальной величины.

В самом деле, предположим, что в какой-то момент во вспомогательной сети, построенной для остаточной сети, не удалось найти блокирующий поток. Это означает, что сток вообще не достижим во вспомогательной сети из истока. Но поскольку она содержит в себе все кратчайшие пути из истока в остаточной сети, это в свою очередь означает, что в остаточной сети нет пути из истока в сток. Следовательно, применяя теорему Форда-Фалкерсона, получаем, что текущий поток в самом деле максимален.

Асимптотика алгоритма

Теорема:
Расстояние между истоком и стоком строго увеличивается после каждой фазы алгоритма, т.е. [math]d'[t] \gt d[t][/math], где [math]d'[t][/math] — значение, полученное на следующей фазе алгоритма.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
От противного. Рассмотрим кратчайший путь из истока в сток; по предположению, его длина должна сохраниться неизменной. Однако остаточная сеть на следующей фазе содержит только рёбра остаточной сети перед выполнением текущей фазы, либо обратные к ним. Таким образом, пришли к противоречию: нашёлся [math]s \leadsto t[/math] путь, который не содержит насыщенных рёбер и имеет ту же длину, что и кратчайший путь. Этот путь должен был быть «заблокирован» блокирующим потоком, чего не произошло, в чём и заключается противоречие, что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Поскольку длина кратчайшего [math]s \leadsto t[/math] пути не может превосходить [math]n - 1[/math], то, следовательно, алгоритм Диница совершает не более [math]n - 1[/math] фазы. Таким образом, в зависимости от того, каким алгоритмом нахождения блокирующего потока мы пользовались, весь алгоритм Диница может выполняться за [math]O(VE^2)[/math] или за [math]O(V^2E)[/math]. Также возможно достичь асимптотики [math]O(VE\log V)[/math], если использовать динамические деревья Слетора и Тарьяна.

Реализация

  [math]bfs()[/math]
     [math]q \leftarrow empty [/math]
     [math] q.push(s) [/math]
     [math]while !q.isEmty()[/math]
        [math]for (v : (flow(u,v) \gt  0) and (dist[v] = 0))[/math]
           [math]dist[v] \leftarrow dist[u] + 1 [/math]
           [math]q.push(v)[/math]
     [math]q.pop()[/math]
  [math]makeGl()[/math]
     [math]dist \leftarrow [/math]0
     [math]bfs()[/math]
     [math]if (t[/math] достижима[math])[/math]
        [math]return true[/math]
     [math]return false[/math]
  [math]algorithmDinica()[/math]
     [math]flow \leftarrow[/math] 0
     [math]while makeGL()[/math]
        [math] f' \leftarrow findBlockingFlow()[/math]
        [math] f \leftarrow f' [/math]
     вывести поток [math] f [/math]

Источники