Счетно-нормированные пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(немного пофиксил, ща доделаю)
(посидел, блин, в твиттерке()
Строка 16: Строка 16:
 
Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''
 
Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''
 
}}
 
}}
 +
 +
Пример:
 +
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$
 +
 +
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.TODO: проверить, чтоли
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.
+
'''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость.
 
}}
 
}}
  
 
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.
 
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.
  
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных TODO: но обратное в общем случае неверно.
 
 
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.
 
  
Пример:
+
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм?
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое.
 
 
 
Возникает вопрос в каком случае можно нормировать, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(X)$.
+
Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.
 
}}
 
}}
  
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли
+
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли, или посмотреть в Вулиха, Введение в функциональный анализ, стр. 362, там это есть для максимума.
 
 
Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость. TODO: какая-то неразборчивая хурма
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \exists c_n \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа. TODO не пойму, $q_{m_n}$ означает просто что какой-то номер $m$, свой для конкретного $n$ или что?
+
Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br>
 +
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.
 
}}
 
}}
  
Строка 52: Строка 50:
 
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.
 
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.
 
|proof=
 
|proof=
В обратную сторону: пусть они мажорируют друг друга, тогда $q_n(x) \le c_n p_m(x)$, то есть из сходимости $p_m(x)$ следует сходимость $q_n(x)$. Аналогично из $p_n(x) \le c_n q_m(x)$ и сходимости $q_m(x)$ следует сходимость $p_n(x)$.
+
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.
  
В прямую сторону: пусть $\{p_n\}$ и $\{q_n\}$ эквивалентны. Установим, что $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$. Докажем от противного: пусть существует $p_{n_0}$, не мажорируемая $\{q_n\}$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_{n_0}(x_n) \ge n q_n(x_n)$. TODO блин, тут, кажется, $n$ клашится, нифига не понятно ((
+
В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.
 +
 
 +
Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.
 
}}
 
}}
  
Критерий нормируемости счетно-нормированного пространства: система полунорм существенна, если не мажорируется ни одной из предыдущих полунорм (TODO пшшш в скобках). TODO: видимо, тут хотят сказать, что $\forall m > n:
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.
 +
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 +
|about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства
 
|statement=
 
|statement=
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе конечное число существенных полунорм.
+
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.
 
|proof=
 
|proof=
TODO: не осознал формулировку как-то, да и вообще мутно
+
TODO:coming soon
 
}}
 
}}
  

Версия 04:51, 6 января 2013

Эта статья находится в разработке!

<wikitex> $C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$

$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.

Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.


Определение:
Полунорма — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.


Определение:
Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют счетно-нормированным пространством


Пример:

  • $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$

Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.TODO: проверить, чтоли


Определение:
$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$, если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.
Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость.


Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.


Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм?


Определение:
Система полунорм $\{p_n\}$ называется монотонной, если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.


Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли, или посмотреть в Вулиха, Введение в функциональный анализ, стр. 362, там это есть для максимума.


Определение:
Полунорма $q$ мажорирует полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$.


Утверждение:
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.
[math]\triangleright[/math]

В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$.

В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0.

Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Полунорма $p_n$ в системе $p$ существенна, если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.


Теорема (критерий нормируемости счетно-нормированного пространства):
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
TODO:coming soon
[math]\triangleleft[/math]


</wikitex>