Редактирование: Теорема Банаха-Штейнгауза

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 30: Строка 30:
 
Так как <tex>X</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.
 
Так как <tex>X</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.
  
Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline V(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline V(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}</tex>. По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограничена константой, не зависящей от <tex>n</tex> и <tex>x</tex>.
+
Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline V(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline V(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}</tex>. По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограничена константой, не зависящей от <tex>n</tex>.
 
}}
 
}}
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)