Редактирование: Теорема Банаха-Штейнгауза
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 18: | Строка 18: | ||
принцип равномерной ограниченности | принцип равномерной ограниченности | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> | + | Пусть <tex>Y</tex> {{---}} банахово, <tex>A_n \in L(X, Y)</tex>, <tex>A_n</tex> поточечно ограничена. Тогда <tex>A_n</tex> равномерно ограничена. |
|proof= | |proof= | ||
Сначала покажем, что существует замкнутый шар <tex>\overline V(a, r)</tex>, в котором <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| < +\infty</tex>. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар <tex>\overline V</tex>, в нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty</tex>. | Сначала покажем, что существует замкнутый шар <tex>\overline V(a, r)</tex>, в котором <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| < +\infty</tex>. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар <tex>\overline V</tex>, в нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty</tex>. |