Теорема Банаха-Штейнгауза — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показано 8 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
  
Будем рассматривать последовательность операторов <tex>A_n: X \rightarrow Y</tex>.
+
Будем рассматривать последовательность линейных ограниченных операторов <tex>A_n: X \to Y</tex>.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 28: Строка 28:
 
Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров <tex>\overline V_{n_m}: \overline V_{n_{m+1}} \subset \overline V_{n_m}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline V_{n_m}: \|A_{n_m} x \| > m</tex>.
 
Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров <tex>\overline V_{n_m}: \overline V_{n_{m+1}} \subset \overline V_{n_m}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline V_{n_m}: \|A_{n_m} x \| > m</tex>.
  
Так как <tex>Y</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.
+
Так как <tex>X</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.
  
Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем последовательность операторов ограничена константой <tex>M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline V(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline V(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}</tex>. По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограничена константой, не зависящей от <tex>n</tex>.
+
Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline V(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline V(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}</tex>. По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограничена константой, не зависящей от <tex>n</tex> и <tex>x</tex>.
 
}}
 
}}
  
Ссылочки:
+
== Ссылки ==
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle Uniform boundness principle]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle Uniform boundness principle]
  
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Текущая версия на 14:50, 14 июня 2013

Эта статья находится в разработке!

Будем рассматривать последовательность линейных ограниченных операторов [math]A_n: X \to Y[/math].

Определение:
Последовательность [math]A_n[/math] поточечно ограничена, если [math]\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| \lt +\infty[/math].


Определение:
Последовательность [math]A_n[/math] равномерно ограничена, если [math]\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| \lt +\infty[/math].


Теорема (Банах, Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности):
Пусть [math]X[/math] — банахово, [math]A_n \in L(X, Y)[/math], [math]A_n[/math] поточечно ограничена. Тогда [math]A_n[/math] равномерно ограничена.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Сначала покажем, что существует замкнутый шар [math]\overline V(a, r)[/math], в котором [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| \lt +\infty[/math]. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар [math]\overline V[/math], в нем [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty[/math].

Тогда в силу неограниченности найдется [math] n_1 [/math] и [math] x_1 \in \overline V: \|A_{n_1} x_1\| \gt 1[/math]; [math]A_{n_1}[/math] непрерывен, значит, можно взять [math]V_r(x_1) = \overline {V_1} \subset \overline V[/math], где [math]r(V_1) \le \frac {r(\overline V)}{2}[/math].

Опять в силу неограниченности найдется [math]n_2 \gt n_1 [/math] и [math] x_2 \in V_1(x_1): \|A_{n_2} x_2\| \gt 2[/math]; [math]A_{n_2}[/math] непрерывен, берем [math]V_r(x_2) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}[/math], где [math]r(V_2) \le \frac {r(\overline V_1)}{2}[/math].

Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров [math]\overline V_{n_m}: \overline V_{n_{m+1}} \subset \overline V_{n_m}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline V_{n_m}: \|A_{n_m} x \| \gt m[/math].

Так как [math]X[/math] - банахово, то существует [math]c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}[/math], [math]\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| \lt +\infty[/math].

Но [math]\forall m: \|A_{n_m}(c)\| \gt m[/math], то есть, [math]\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty[/math]. Получили противоречие, значит, такой шар [math]\overline V(a, r)[/math] найдется, пусть на нем [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M[/math]. Заметим, любому [math]x \in \overline V(0, 1)[/math] в соответствие можно поставить [math]x' \in \overline V(a, r)[/math] как [math]x' = r x + a[/math], тогда [math]\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}[/math]. По поточечной ограниченности операторов, [math]\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1[/math], таким образом, [math]\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}[/math], то есть ограничена константой, не зависящей от [math]n[/math] и [math]x[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки[править]