Теорема Банаха о неподвижной точке — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство теоремы)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
У сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка <tex>\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}</tex>.
+
У сжимающего отображения <tex>A : \overline{V} \to \overline{V}</tex> существует единственная неподвижная точка <tex>\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}</tex>.
  
 
===Доказательство теоремы===
 
===Доказательство теоремы===
  
Возьмём <tex>\forall x \in X</tex> и рассмотрим последовательность <tex>x_1=Tx,x_2=Tx_1,\dots,x_{n+1}=Tx_n</tex>. Получаем <tex>\{x_n\}</tex>. Покажем, что эта последовательность [[фундаментальная последовательность|фундаментальная]]. В самом деле:
+
Доказательство из википедии, его еще стоит ПЕРЕДЕЛАТЬ!
 +
 
 +
Возьмём <tex>\forall x_0 \in \overline{V}</tex> и рассмотрим последовательность <tex>\{x_n\}</tex>, где <tex>x_1=Tx_0, x_2=Tx_1, \dots ,x_{n+1}=Tx_n</tex>.
 +
Покажем, что эта последовательность [[фундаментальная последовательность|фундаментальная]].  
 +
В самом деле:
 
:<tex>d(x_1,x_2)=d(Tx,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),</tex>
 
:<tex>d(x_1,x_2)=d(Tx,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),</tex>
 
:<tex>d(x_2,x_3)=d(Tx_1,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,x_2)={\alpha}^{2} d(x,Tx),</tex>
 
:<tex>d(x_2,x_3)=d(Tx_1,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,x_2)={\alpha}^{2} d(x,Tx),</tex>
 
:<tex>\dots,</tex>
 
:<tex>\dots,</tex>
 
:<tex>d(x_n,x_{n+1})=d(Tx_{n-1},Tx_n)\leqslant\alpha d(x_{n-1},x_n)={\alpha}^{n} d(x,Tx)</tex>.
 
:<tex>d(x_n,x_{n+1})=d(Tx_{n-1},Tx_n)\leqslant\alpha d(x_{n-1},x_n)={\alpha}^{n} d(x,Tx)</tex>.
Таким образом, по неравенству треугольника для
 
:<tex>\forall n,p \in \mathbb{N} \quad d(x_n,x_{n+p}) \leqslant d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p})
 
\leqslant \dots</tex>
 
:<tex>\dots \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\leqslant</tex>
 
:<tex>\leqslant {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx)
 
= ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx)
 
\leqslant\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) </tex>.
 
  
Но <tex>\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0 </tex> при <tex>n \to \infty</tex>, значит для <tex>\varepsilon > 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1} </tex>.
+
Таким образом, по неравенству треугольника для любых <tex>n,p \in \mathbb{N}</tex>
 +
:<tex>d(x_n,x_{n+p}) \le d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \le</tex>
 +
:<tex>\le d(x_{n},x_{n+1}) + d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p}) \le \dots</tex>
 +
:<tex>\dots \le d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\le</tex>
 +
:<tex>\le {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx)=</tex>
 +
:<tex>= ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx)
 +
\le\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) </tex>.
 +
 
 +
Но <tex>\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0 </tex> при <tex>n \to \infty</tex>, значит для <tex>\varepsilon > 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}</tex>.
  
 
Таким образом, для <tex>\varepsilon > 0 \quad \exists N\colon\forall n > N, \forall p \in\mathbb{N}\colon d(x_n,x_{n+p})
 
Таким образом, для <tex>\varepsilon > 0 \quad \exists N\colon\forall n > N, \forall p \in\mathbb{N}\colon d(x_n,x_{n+p})

Текущая версия на 19:04, 4 сентября 2022

У сжимающего отображения [math]A : \overline{V} \to \overline{V}[/math] существует единственная неподвижная точка [math]\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}[/math].

Доказательство теоремы

Доказательство из википедии, его еще стоит ПЕРЕДЕЛАТЬ!

Возьмём [math]\forall x_0 \in \overline{V}[/math] и рассмотрим последовательность [math]\{x_n\}[/math], где [math]x_1=Tx_0, x_2=Tx_1, \dots ,x_{n+1}=Tx_n[/math]. Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:

[math]d(x_1,x_2)=d(Tx,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),[/math]
[math]d(x_2,x_3)=d(Tx_1,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,x_2)={\alpha}^{2} d(x,Tx),[/math]
[math]\dots,[/math]
[math]d(x_n,x_{n+1})=d(Tx_{n-1},Tx_n)\leqslant\alpha d(x_{n-1},x_n)={\alpha}^{n} d(x,Tx)[/math].

Таким образом, по неравенству треугольника для любых [math]n,p \in \mathbb{N}[/math]

[math]d(x_n,x_{n+p}) \le d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \le[/math]
[math]\le d(x_{n},x_{n+1}) + d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p}) \le \dots[/math]
[math]\dots \le d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\le[/math]
[math]\le {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx)=[/math]
[math]= ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx) \le\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) [/math].

Но [math]\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0 [/math] при [math]n \to \infty[/math], значит для [math]\varepsilon \gt 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \lt \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}[/math].

Таким образом, для [math]\varepsilon \gt 0 \quad \exists N\colon\forall n \gt N, \forall p \in\mathbb{N}\colon d(x_n,x_{n+p}) \leqslant \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) \lt \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}d(x,Tx) \lt \varepsilon [/math].

Значит [math]\{x_n\}[/math] фундаментальна. Но т.к. [math]X[/math] полно, то [math]\exists x^* \in X\colon\lim_{n \to \infty}x_n = x^*[/math]. Тогда берём [math]x_{n+1}=Tx_n[/math] и переходим к пределу, т.к. сжимающий оператор — непрерывная функция. Существование доказано.

Докажем единственность. Предположим обратное, т.е. пусть [math]\exists y^* \in X\colon y^*=Ty^* \Rightarrow d(x^*,y^*) = [/math] (т.к. [math]x^*[/math] и [math]y^*[/math] - неподвижные точки) [math]d(Tx^*,Ty^*) \leqslant\alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant \alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow (1-\alpha)d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow x^*=y^*[/math].

Теорема доказана.