Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 11 промежуточных версий 7 участников)
Строка 33: Строка 33:
 
Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B</tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.  
 
Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B</tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.  
  
Пронумеруем некоторым образом все машины Тьюринга, имеющие доступ к оракулу языка <tex>B</tex>, и рассмотрим последовательность <tex>M_i</tex>, в которой каждая машина Тьюринга встречается бесконечное число раз. Очевидно, это можно сделать в силу счетности множества машин Тьюринга. Построение множества <tex>B</tex> разделим на счетное число стадий, на каждой из которых множество пополнится конечным числом элементов. Будем строить <tex>B</tex> так, чтобы на <tex>i</tex>-й стадии было выполнено: существует слово <tex>x</tex>, что <tex>T(M_i, x) \ge 2^{n-1}</tex>.  Это утверждение сильнее, чем <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>, так как <tex>2^n</tex> растет быстрее любого полинома.
+
Пронумеруем полиномиальные программы, получим последовательность <tex>P_i</tex>. Множество <tex>B</tex> будем строить итеративно, на очередной итерации номер <tex>i</tex> делая так, что программа <tex>P_i</tex> не распознает множество <tex>U_B</tex>.
* 0-я стадия: <tex>B \leftarrow \emptyset </tex>.
 
* <tex>i</tex>-я стадия. Стадии с 0-й по <tex>(i-1)</tex>-ю пройдены, <tex>B</tex> — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из <tex>(n-1)</tex>-го символа. Запустим машину <tex>M_i</tex> на входе <tex>1^n</tex> на <tex>2^{n-1}</tex> шагов. Когда <tex>M_i</tex> требуется ответ оракула языка <tex>B</tex> о слове <tex>x</tex>, будем определять принадлежность этого слова к <tex>B</tex> следующим образом:
 
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> была определена на одной из предыдущих стадий, то она сохраняется;
 
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> не установлена ранее, то далее считаем, что <tex>x \not\in B</tex>.
 
  
Но <tex>M_i</tex> могла остановится раньше, чем за <tex>2^{n-1}</tex> шагов и вернуть какое-либо значение. Так как <tex>B</tex> строится с условием, что для выбранного <tex>x = 1^n</tex> выполнено: <tex>T(M_i,x) \ge 2^{n-1}</tex>, то решение машины о принадлежности слова должно быть неверным:
+
В начале каждой итерации определимся с тем, с какой длиной слова <tex>n_i</tex> мы будем работать. Для <tex>n_i</tex> должны быть выполнены три условия:
* если <tex>M_i</tex> приняла слово, то исключим из <tex>B</tex> все слова вида <tex>\{0,1\}^n</tex>;
+
* <tex>2^{n_i} > T(P_i, (1)^{n_i})</tex> (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы)
* Если <tex>M_i</tex> отклонила слово, то выберем слово <tex>x</tex> длины <tex>n</tex>, принадлежность которого <tex>B</tex> еще не определено. Добавим <tex>x</tex> в <tex>B</tex>. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущий шагах мы могли сделать не более, чем <tex>2^n-1</tex> запросов к оракулу (то есть определить принадлежность <tex>B</tex> не более <tex>2^n-1</tex> слов длины <tex>n</tex>), а всего слов длины n <tex>2^n</tex>.
+
* <tex>n_i > n_{i-1}</tex> (слово должно быть длиннее, чем слово, с которым мы работали на предыдущем шаге)
 +
* <tex>n_i > \max\limits_{s \in B} |s|</tex>, где <tex>B</tex> {{---}} текущая версия множества, которое мы строим (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве <tex>B</tex> всегда конечное число элементов). Кроме этого, слово должно быть длиннее, чем все слова, про которые наш оракул раньше ответил, что в множестве <tex>B</tex> их нет.
  
Во множестве <tex>B</tex> на каждой стадии содержится конечное число элементов, так как на каждой стадии в <tex>B</tex> может быть добавлено не более чем <tex>2^{n-1}+1</tex> слов.
+
Затем запустим программу <tex>P_i</tex> на слове <tex>(1)^n</tex>. Каждый раз, когда она будет обращаться к оракулу для множества <tex>B</tex>, будем делать следующее:
 +
* если запрошенное слово ранее было добавлено в множество <tex>B</tex>, отвечаем <tex>ACCEPT</tex>
 +
* в противном случае отвечаем <tex>REJECT</tex>
  
Из построения получаем, что для любой машины Тьюринга <tex>M</tex> существует бесконечно много слов из <tex>U_B</tex>, для которых <tex>M</tex> не может принять верное решение о принадлежности слова <tex>U_B</tex> за время, меньшее <tex>2^{n-1}</tex>. Следовательно, <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.
+
Если программа отработала и решила, что слово <tex>(1)^n</tex> принадлежит языку <tex>U_B</tex>, ничего делать не надо: ни одного слова длины <tex>n</tex> в языке <tex>B</tex> нет (из-за третьего требования к длине обрабатываемых слов), и никогда не появится (из-за второго требования к длине обрабатываемых слов).
  
 +
В противном случае, необходимо найти такое слово длины <tex>n</tex>, о котором программа <tex>P_i</tex> не спрашивала оракул (оно всегда существует из-за первого требования к длине обрабатываемых слов: программа просто не успела бы спросить обо всех словах длины <tex>n</tex>), и добавить это слово в множество <tex>B</tex>. После этого все слова длины <tex>n</tex> автоматически добавятся в язык <tex>U_B</tex>, и программа <tex>P_i</tex> не будет верно распознавать этот язык (она будет неверно работать на слове <tex>(1)^n</tex>).
 
}}
 
}}
  
==Следствия==
+
==Следствие==
  
 
{{ Утверждение
 
{{ Утверждение
| statement = Если существует решение вопроса равенства <tex>\mathrm{P}</tex> и <tex> \mathrm{NP}</tex>, то оно не должно "релятивизоваться". Поэтому стандартные техники, например диагонализация, не применимы для доказательства данного равенства.
+
| statement = Если существует решение вопроса равенства <tex>\mathrm{P}</tex> и <tex> \mathrm{NP}</tex>, то оно не должно «релятивизоваться».
 
}}
 
}}
 +
 +
Для доказательства строгого включения классов часто используется метод диагонализации. Однако утверждения, полученные при помощи данной техники, могут быть «релятивизованы». То есть при «разрешении» машине Тьюринга доступа к оракулу некоторого языка доказанное соотношение классов сохраняется. Однако соотношение <tex>\mathrm{P}</tex> и <tex>\mathrm{NP}</tex> не должно «релятивизоваться» по теореме Бейкера-Гилла-Соловэя, следовательно, метод диагонализации не применим для решения этого вопроса.
  
 
[[Категория: Теория сложности]]
 
[[Категория: Теория сложности]]

Текущая версия на 19:35, 4 сентября 2022

Теорема

Теорема:
Существуют такие оракулы [math]A[/math] и [math]B[/math], что [math]\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} [/math] и [math]\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Существование оракула [math]A[/math]

Рассмотрим PS-полный язык [math]\mathrm{TQBF}[/math].

[math] \mathrm{P^{TQBF}} \overset{(1)}{\subseteq} \mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\subseteq} \mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=} \mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}{=} \mathrm{PS} \overset{(5)}{\subseteq} \mathrm{P^{TQBF}} \Rightarrow [/math]
[math]\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math].

  1. [math] \mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} [/math].
  2. Так как [math]S(p,x) \le T(p, x)[/math], то [math] \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} [/math].
  3. По теореме Сэвича [math] \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} [/math].
  4. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} [/math].
  5. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC} \Rightarrow \mathrm{PS} \subseteq \mathrm{P^{TQBF}} [/math].

Следовательно, [math]\mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math]


Существование оракула [math]B[/math]

Пусть [math]B[/math] — произвольное множество, а [math]U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}[/math]. Ясно, что [math]\forall B[/math] выполнено [math]U_B \in \mathrm{NP}^B[/math] (сертификатом будет слово нужной длины из [math]B[/math]). Построим такое множество [math]B[/math], что [math]U_B \not\in \mathrm{P}^B[/math].

Пронумеруем полиномиальные программы, получим последовательность [math]P_i[/math]. Множество [math]B[/math] будем строить итеративно, на очередной итерации номер [math]i[/math] делая так, что программа [math]P_i[/math] не распознает множество [math]U_B[/math].

В начале каждой итерации определимся с тем, с какой длиной слова [math]n_i[/math] мы будем работать. Для [math]n_i[/math] должны быть выполнены три условия:

  • [math]2^{n_i} \gt T(P_i, (1)^{n_i})[/math] (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы)
  • [math]n_i \gt n_{i-1}[/math] (слово должно быть длиннее, чем слово, с которым мы работали на предыдущем шаге)
  • [math]n_i \gt \max\limits_{s \in B} |s|[/math], где [math]B[/math] — текущая версия множества, которое мы строим (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве [math]B[/math] всегда конечное число элементов). Кроме этого, слово должно быть длиннее, чем все слова, про которые наш оракул раньше ответил, что в множестве [math]B[/math] их нет.

Затем запустим программу [math]P_i[/math] на слове [math](1)^n[/math]. Каждый раз, когда она будет обращаться к оракулу для множества [math]B[/math], будем делать следующее:

  • если запрошенное слово ранее было добавлено в множество [math]B[/math], отвечаем [math]ACCEPT[/math]
  • в противном случае отвечаем [math]REJECT[/math]

Если программа отработала и решила, что слово [math](1)^n[/math] принадлежит языку [math]U_B[/math], ничего делать не надо: ни одного слова длины [math]n[/math] в языке [math]B[/math] нет (из-за третьего требования к длине обрабатываемых слов), и никогда не появится (из-за второго требования к длине обрабатываемых слов).

В противном случае, необходимо найти такое слово длины [math]n[/math], о котором программа [math]P_i[/math] не спрашивала оракул (оно всегда существует из-за первого требования к длине обрабатываемых слов: программа просто не успела бы спросить обо всех словах длины [math]n[/math]), и добавить это слово в множество [math]B[/math]. После этого все слова длины [math]n[/math] автоматически добавятся в язык [math]U_B[/math], и программа [math]P_i[/math] не будет верно распознавать этот язык (она будет неверно работать на слове [math](1)^n[/math]).
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Утверждение:
Если существует решение вопроса равенства [math]\mathrm{P}[/math] и [math] \mathrm{NP}[/math], то оно не должно «релятивизоваться».

Для доказательства строгого включения классов часто используется метод диагонализации. Однако утверждения, полученные при помощи данной техники, могут быть «релятивизованы». То есть при «разрешении» машине Тьюринга доступа к оракулу некоторого языка доказанное соотношение классов сохраняется. Однако соотношение [math]\mathrm{P}[/math] и [math]\mathrm{NP}[/math] не должно «релятивизоваться» по теореме Бейкера-Гилла-Соловэя, следовательно, метод диагонализации не применим для решения этого вопроса.