Теорема Брукса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Грамотность)
(Теорема)
Строка 15: Строка 15:
  
 
|proof=
 
|proof=
#Если <tex> \Delta = 0</tex>, <tex> G = K_1</tex>
+
Для доказательства теоремы рассмотрим несколько случаев:
#Если <tex> \Delta = 1</tex>, <tex> G = K_2</tex>
+
#<tex>\Delta(G) \le 2</tex>, тогда:
#Если <tex> \Delta = 2</tex>, то:
+
#*Если <tex> \Delta = 0</tex>, <tex> G = K_1</tex>
## <tex> G </tex>{{---}} либо дерево либо четный цикл и тогда <tex> \chi(G) = 2</tex>
+
#*Если <tex> \Delta = 1</tex>, <tex> G = K_2</tex>
##<tex> G</tex> нечетный цикл
+
#*Если <tex> \Delta = 2</tex>, то:
Поэтому мы будем считать до конца доказательства, что <tex> \Delta(G) \ge 3</tex>.
+
#*# <tex> G </tex>{{---}} либо дерево либо четный цикл и тогда <tex> \chi(G) = 2</tex>
Если в <tex>G</tex> существует вершина <tex>v</tex> степени <tex> deg\ v < \Delta(G)</tex>, то по выше доказанной лемме <tex> \chi(G) \le \Delta(G)</tex>. То есть осталось рассмотреть случай, когда <tex>G</tex> {{---}} регулярный граф степени <tex>\Delta</tex>.
+
#*#<tex> G</tex> нечетный цикл
 
+
#<tex>\Delta(G) \ge 3</tex>, тогда:
#Если <tex>G</tex> не является вершинно двусвязным графом, тогда в графе <tex> G</tex> <tex> \exists</tex> <tex> v \in V</tex> {{---}} точка сочленения. Пусть <tex>G_1,G_2</tex> {{---}} две компоненты связности, полученные при удалении вершины <tex>v</tex>.Тогда, по выше доказанной лемме <tex>G_1,G_2</tex> можно правильно раскрасить в не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.Поскольку количество соседей вершины <tex> v </tex> в каждой из компонент не более <tex> \Delta - 1</tex>, то <tex>G</tex> можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.
+
##Если <tex>G</tex> не является вершинно двусвязным графом, тогда в графе <tex> G</tex> <tex> \exists</tex> <tex> v \in V</tex> {{---}} точка сочленения. Пусть <tex>G_1,G_2</tex> {{---}} две компоненты связности, полученные при удалении вершины <tex>v</tex>.Тогда, по выше доказанной лемме <tex>G_1,G_2</tex> можно правильно раскрасить в не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.Поскольку количество соседей вершины <tex> v </tex> в каждой из компонент не более <tex> \Delta - 1</tex>, то <tex>G</tex> можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.
#Если <tex>G</tex> является вершинно двусвязным графом. Тогда, <tex> \exists</tex> <tex> v,u \in V :(u,v) \notin E</tex> и при удалении вершин <tex>v,u</tex> граф теряет связность .Пусть <tex>G_1,G_2</tex>  {{---}} два подграфа <tex> G:(G_1 \cap G_2 = \{v,u\})  \land (G_1 \cup G_2 = G)</tex>. Рассмотрим два случая.
+
##Если <tex>G</tex> является вершинно двусвязным графом. Тогда, <tex> \exists</tex> <tex> v,u \in V :(u,v) \notin E</tex> и при удалении вершин <tex>v,u</tex> граф теряет связность .Пусть <tex>G_1,G_2</tex>  {{---}} два подграфа <tex> G:(G_1 \cap G_2 = \{v,u\})  \land (G_1 \cup G_2 = G)</tex>. Рассмотрим два случая.
## Если в одном из подграфов <tex> G_1,G_2</tex>  <tex> deg\ u \le \Delta - 2 </tex> или <tex> deg\ v \le \Delta - 2 </tex> то, подграфы <tex>G_1,G_2</tex> можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы вершины <tex> u,v </tex> были бы разных цветов.А из этого следует, что граф <tex>G</tex> тоже можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.
+
### Если сумма степеней вершин <tex>u,v</tex> в каждом из подграфов <tex>G_1,G_2</tex> меньше <tex>2(\Delta-1)</tex>. Тогда, в одном из подграфов <tex> G_1,G_2</tex>  <tex> deg\ u \le \Delta - 2 </tex> или <tex> deg\ v \le \Delta - 2 </tex>.Тоесть, подграфы <tex>G_1,G_2</tex> можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы вершины <tex> u,v </tex> были бы разных цветов.А из этого следует, что граф <tex>G</tex> тоже можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.
## Если степени обоих вершин в одном из подграфов равны <tex> \Delta - 1</tex>, например, в подграфе <tex>G_1</tex>:
+
### Если сумма степеней вершин <tex>u,v</tex> в одном из подграфов <tex>G_1,G_2</tex> равна <tex>2(\Delta-1)</tex>.Тогда, степени обоих вершин в одном из подграфов равны <tex> \Delta - 1</tex>, например, в подграфе <tex>G_1</tex>:
##* <tex> G_1,G_2 </tex> можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы вершины <tex> u,v </tex> были бы разных цветов.Тогда очевидно, что оценка теоремы выполнена.
+
###* Если вершины <tex>u,v</tex> смежны с вершиной <tex>p \in G_2</tex>, тогда мы можем правильно раскрасить <tex>G_2</tex>, где степени вершин <tex>u,v</tex> равны <tex>1</tex>, в не более чем <tex> \Delta </tex> цветов так, чтобы вершины <tex>u,v</tex> были  одного цвета. Следовательно, можно покрасить граф <tex>G</tex> в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.
##* <tex>\exists p \in G_2: ((p,u) \in E) \land ((p,v) \in E)  </tex>, тогда мы можем правильно раскрасить <tex>G_2</tex>, где <tex>deg\ u = deg\ v = 1</tex>, в не более чем <tex> \Delta </tex> цветов так, чтобы вершины <tex>u,v</tex> были  одного цвета. Следовательно, можно покрасить граф <tex>G</tex> в не более чем <tex>\Delta</tex> цветов.
+
###*[[Файл:Brooks_2.png‎|400px|thumb|Алгоритм расскраски для 3-его случая на 5ом шаге]]Если вершины <tex>u,v</tex> смежны с вершинами <tex>u_1,v_1 \in G_2</tex> соответственно, тогда вместо вершин <tex>\{u,v\}</tex> рассмотрим вершины <tex>\{u,v_1\}</tex>.Заметим, что при удалении этих вершин граф потеряет связность, и между ними нет ребра и сумма степеней новой пары вершин в каждой из компонент полученных после их удаления меньше <tex>2(\Delta-1)</tex>.Поэтому,если для этой пары вершин провести рассуждения аналогичные тем, которые проводились для вершин <tex> v,u</tex>,получится, что граф <tex> G</tex> можно правильно раскрасить в  не более чем <tex>\Delta </tex> цветов.
##*[[Файл:Brooks_2.png‎|400px|thumb|Алгоритм расскраски для 3-его случая на 5ом шаге]]<tex>\exists u_1,v_1 \in G_2: ((u,u_1) \in E) \land ((v,v_1) \in E) \land (u_1 \neq v_1)  </tex>, тогда вместо вершин <tex>\{u,v\}</tex> рассмотрим вершины <tex>\{u,v_1\}</tex>.Заметим, что при удалении этих вершин граф потеряет связность, и между ними нет ребра,то есть для этой пары вершин можно провести рассуждения аналогичные тем, которые проводились для вершин <tex> v,u</tex>.Из чего прямым образом вытекает, что граф <tex> G</tex> можно правильно раскрасить в не более чем не более чем <tex>\Delta </tex> цветов.
+
##Если <tex>G</tex> является <tex>k</tex>-связным графом, где <tex>k > 2</tex>. Тогда, рассмотрим <tex>w \in V : deg\ w = \Delta</tex>. У вершины <tex>w</tex> должны существовать две соседние вершины <tex>u,v : uv \notin E </tex>, в противном случае <tex>G = K_n</tex>.Пусть <tex>G_- = G - u - v </tex>. Заметим, что <tex>G_-</tex> связный граф, запустим для <tex>G_-</tex> алгоритм  обхода в ширину из вершины <tex>w</tex>. Пронумеруем вершины <tex>v_1,...,v_{n-2}</tex>, где <tex>v_i</tex> вершина рассмотренная на <tex>i</tex>ом шаге алгоритма bfs.Теперь пусть <tex> v_{n-1} = v</tex>,и <tex>v_n = u</tex>. Покрасим <tex>v_n,v_{n-1}</tex> в один цвет, далее начнем красить вершины в обратном порядке, начиная с <tex>v_{n-2}</tex> в один из <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета.Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на <tex> i</tex>ом шаге покраски, где <tex>i \neq n</tex>, для вершины <tex> v_{n - i+1}</tex> есть не более <tex>\Delta(G) - 1</tex> уже покрашенных соседей, следовательно, вершину <tex> v_{n-i+1}</tex> можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Вершину <tex>w</tex> мы тоже сможем правильно раскрасить в один из <tex>\Delta</tex> цветов потому, что ее <tex>\Delta</tex> соседей покрашено в не более чем <tex>\Delta - 1</tex> цветов. Таким образом граф <tex> G</tex> можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.
#Если вышеописанные случаи не подходят, то граф <tex>G</tex> является <tex>k</tex>-связным. Тогда, рассмотрим <tex>w \in V : deg\ w = \Delta</tex>. У вершины <tex>w</tex> должны существовать две соседние вершины <tex>u,v : uv \notin E </tex>, в противном случае <tex>G = K_n</tex>.Пусть <tex>G_- = G - u - v </tex>. Заметим, что <tex>G_-</tex> связный граф, запустим для <tex>G_-</tex> алгоритм  обхода в ширину из вершины <tex>w</tex>. Пронумеруем вершины <tex>v_1,...,v_{n-2}</tex>, где <tex>v_i</tex> вершина рассмотренная на <tex>i</tex>ом шаге алгоритма bfs.Теперь пусть <tex> v_{n-1} = v</tex>,и <tex>v_n = u</tex>. Покрасим <tex>v_n,v_{n-1}</tex> в один цвет, далее начнем красить вершины в обратном порядке, начиная с <tex>v_{n-2}</tex> в один из <tex>\Delta</tex> цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета.Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на <tex> i</tex>ом шаге покраски, где <tex>i \neq n</tex>, для вершины <tex> v_{n - i+1}</tex> есть не более <tex>\Delta(G) - 1</tex> уже покрашенных соседей, следовательно, вершину <tex> v_{n-i+1}</tex> можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Вершину <tex>w</tex> мы тоже сможем правильно раскрасить в один из <tex>\Delta</tex> цветов потому, что ее <tex>\Delta</tex> соседей покрашено в не более чем <tex>\Delta - 1</tex> цветов. Таким образом граф <tex> G</tex> можно правильно раскрасить в  не более чем  <tex>\Delta</tex> цветов.
 
 
}}
 
}}
  

Версия 22:19, 19 января 2013

Вспомогательная Лемма

Лемма:
Пусть [math]G(V,E)[/math] - произвольный связный неориентированный граф и [math]\Delta(G)[/math] - максимальная степень вершин [math]G[/math]. Если в таком графе существует вершина [math]w[/math] степени [math] deg\ w \lt \Delta(G)[/math], то [math]\chi(G) \le \Delta(G)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Алгоритм расскраски на 5ом шаге
Запустим алгоритм обхода в ширину из вершины [math]w[/math]. Пронумеруем вершины [math]v_1,...,v_n,[/math] где [math]v_i[/math] вершина рассмотренная на [math]i[/math]ом шаге алгоритма bfs. Далее начнем красить вершины в обратном порядке в один из [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета. На [math] i[/math]ом шаге покраски, для вершины [math] v_{n - i+1}[/math] есть не более [math]\Delta(G) - 1[/math] уже покрашенных соседей (т.к [math] deg(v_{n - i+1}) \le \Delta(G)[/math] и предок данной вершины в дереве bfs еще не покрашен, а если предка нет, то это вершина и есть [math]w[/math]), следовательно вершину [math] v_{n-i+1}[/math] можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Поскольку на каждом шаге алгоритм отработает корректно, следовательно граф можно правильно раскрасить в не более чем [math] \Delta[/math] цветов, то есть [math] \chi(G) \le \Delta(G)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема

Теорема (Брукса):
Пусть [math]G(V,E)[/math] — связный неориентированный граф и [math]G[/math] не является [math]K_m[/math] или [math]C_{2m+1}[/math], ни для кого [math] m[/math], тогда [math]\chi(G) \le \Delta(G)[/math], где [math]\Delta(G)[/math] - максимальная степень вершин [math]G[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства теоремы рассмотрим несколько случаев:

  1. [math]\Delta(G) \le 2[/math], тогда:
    • Если [math] \Delta = 0[/math], [math] G = K_1[/math]
    • Если [math] \Delta = 1[/math], [math] G = K_2[/math]
    • Если [math] \Delta = 2[/math], то:
      1. [math] G [/math]— либо дерево либо четный цикл и тогда [math] \chi(G) = 2[/math]
      2. [math] G[/math] нечетный цикл
  2. [math]\Delta(G) \ge 3[/math], тогда:
    1. Если [math]G[/math] не является вершинно двусвязным графом, тогда в графе [math] G[/math] [math] \exists[/math] [math] v \in V[/math] — точка сочленения. Пусть [math]G_1,G_2[/math] — две компоненты связности, полученные при удалении вершины [math]v[/math].Тогда, по выше доказанной лемме [math]G_1,G_2[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов.Поскольку количество соседей вершины [math] v [/math] в каждой из компонент не более [math] \Delta - 1[/math], то [math]G[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов.
    2. Если [math]G[/math] является вершинно двусвязным графом. Тогда, [math] \exists[/math] [math] v,u \in V :(u,v) \notin E[/math] и при удалении вершин [math]v,u[/math] граф теряет связность .Пусть [math]G_1,G_2[/math] — два подграфа [math] G:(G_1 \cap G_2 = \{v,u\}) \land (G_1 \cup G_2 = G)[/math]. Рассмотрим два случая.
      1. Если сумма степеней вершин [math]u,v[/math] в каждом из подграфов [math]G_1,G_2[/math] меньше [math]2(\Delta-1)[/math]. Тогда, в одном из подграфов [math] G_1,G_2[/math] [math] deg\ u \le \Delta - 2 [/math] или [math] deg\ v \le \Delta - 2 [/math].Тоесть, подграфы [math]G_1,G_2[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы вершины [math] u,v [/math] были бы разных цветов.А из этого следует, что граф [math]G[/math] тоже можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов.
      2. Если сумма степеней вершин [math]u,v[/math] в одном из подграфов [math]G_1,G_2[/math] равна [math]2(\Delta-1)[/math].Тогда, степени обоих вершин в одном из подграфов равны [math] \Delta - 1[/math], например, в подграфе [math]G_1[/math]:
        • Если вершины [math]u,v[/math] смежны с вершиной [math]p \in G_2[/math], тогда мы можем правильно раскрасить [math]G_2[/math], где степени вершин [math]u,v[/math] равны [math]1[/math], в не более чем [math] \Delta [/math] цветов так, чтобы вершины [math]u,v[/math] были одного цвета. Следовательно, можно покрасить граф [math]G[/math] в не более чем [math]\Delta[/math] цветов.
        • Алгоритм расскраски для 3-его случая на 5ом шаге
          Если вершины [math]u,v[/math] смежны с вершинами [math]u_1,v_1 \in G_2[/math] соответственно, тогда вместо вершин [math]\{u,v\}[/math] рассмотрим вершины [math]\{u,v_1\}[/math].Заметим, что при удалении этих вершин граф потеряет связность, и между ними нет ребра и сумма степеней новой пары вершин в каждой из компонент полученных после их удаления меньше [math]2(\Delta-1)[/math].Поэтому,если для этой пары вершин провести рассуждения аналогичные тем, которые проводились для вершин [math] v,u[/math],получится, что граф [math] G[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta [/math] цветов.
    3. Если [math]G[/math] является [math]k[/math]-связным графом, где [math]k \gt 2[/math]. Тогда, рассмотрим [math]w \in V : deg\ w = \Delta[/math]. У вершины [math]w[/math] должны существовать две соседние вершины [math]u,v : uv \notin E [/math], в противном случае [math]G = K_n[/math].Пусть [math]G_- = G - u - v [/math]. Заметим, что [math]G_-[/math] связный граф, запустим для [math]G_-[/math] алгоритм обхода в ширину из вершины [math]w[/math]. Пронумеруем вершины [math]v_1,...,v_{n-2}[/math], где [math]v_i[/math] вершина рассмотренная на [math]i[/math]ом шаге алгоритма bfs.Теперь пусть [math] v_{n-1} = v[/math][math]v_n = u[/math]. Покрасим [math]v_n,v_{n-1}[/math] в один цвет, далее начнем красить вершины в обратном порядке, начиная с [math]v_{n-2}[/math] в один из [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета.Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на [math] i[/math]ом шаге покраски, где [math]i \neq n[/math], для вершины [math] v_{n - i+1}[/math] есть не более [math]\Delta(G) - 1[/math] уже покрашенных соседей, следовательно, вершину [math] v_{n-i+1}[/math] можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Вершину [math]w[/math] мы тоже сможем правильно раскрасить в один из [math]\Delta[/math] цветов потому, что ее [math]\Delta[/math] соседей покрашено в не более чем [math]\Delta - 1[/math] цветов. Таким образом граф [math] G[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов.
[math]\triangleleft[/math]

Источники