Теорема Гринберга — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 80 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
Теорема Гринберга(англ. '''Grinberg''') - необходимое условие содержания [[Гамильтоновы графы|гамильтонова цикла]] [[Укладка графа на плоскости|планарным]] графом.
+
== Базовые определения ==
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Бонд''' (англ. ''bond'') графа {{---}} это минимальный (по включению) непустой [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез | разрез графа]] <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Минимальный (по включению)''' (англ. ''minimal by inclusion'') разрез графа <tex>G</tex> {{---}} разрез, из которого нельзя выделить разрезы с меньшим количеством ребер.
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Разрез <tex>E(V_1, V_2)</tex> связного графа <tex>G</tex> является '''бондом''', если и только если оба графа <tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> связны.
 +
|proof=
 +
Для удобства примем <tex>E = E(V_1, V_2)</tex>. 
 +
 
 +
<tex>\Rightarrow</tex>. Пусть <tex>E</tex> {{---}} бонд. Докажем, что для любого ребра <tex>e \in E</tex> граф <tex>G - E + e</tex> связен. Действительно, пусть этот граф несвязен и имеет, скажем, компоненты связности <tex>U_1</tex> и <tex>U_2</tex>. Тогда <tex>E \supsetneq E(U_1, U_2)</tex>, а из связности графа <tex>G</tex> следует, что <tex>E(U_1, U_2) \neq \varnothing</tex>. Противоречие с минимальностью <tex>E</tex>.
 +
 
 +
Теперь докажем, что подграфы <tex>G(V_1) \text{ и } G(V_2)</tex> связны. Рассмотрим отдельно подграф <tex>G(V_1)</tex>, если он не связный, то имеет как минимум <tex>2</tex> компоненты связности, назовем их <tex>O_1 \text{ и } O_2</tex>.  
  
 +
<tex>e \in E </tex> можно также представить как <tex>e = (u, v) \text{ при этом } u \in G(V_1), v \in G(V_2)</tex>, то есть <tex>u \in O_1 \mid u \in O_2</tex>, и граф <tex> G - E + e </tex> состоит из <tex>2</tex> компонент {{---}} <tex>(O_1 \cup G(V_2), O_2) \mid (O_2 \cup G(V_2), O_1)</tex>, что противоречит условию связности. Так же доказывается связность <tex>G(V_2)</tex>.
 +
 +
<tex>\Leftarrow</tex>. Если оба графа <tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> — связны, то добавление любого ребра из <tex>E</tex> даст нам связный подграф графа <tex>G</tex>, содержащий все его вершины. Значит, в этом случае разрез <tex>E</tex> минимален по включению. В силу связности <tex>G</tex> этот разрез непуст, то есть, является бондом.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Подграфы <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex> из предыдущей леммы называются '''торцевыми графами''' (англ. ''end graph'').
 +
}}
 +
Также стоит отметить, что если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты, а всякий [[Мост,_эквивалентные_определения | мост]] графа образует однореберный бонд. Торцевые графы моста являются торцевыми графами соответствующего бонда.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Гамильтоновым бондом''' (англ. ''hamiltonian bond'') называется бонд графа <tex> G </tex>, торцевыми графами которого являются деревья.
 +
}}
 +
 +
== Теорема Гринберга ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about=Гринберга
+
|author=Гринберг
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>G</tex> плоский граф без петель с гамильтоновым циклом <tex>C</tex>, который делит плоскости на две области <tex>R</tex> и <tex>R'</tex>. Пусть <tex>k_i</tex> и <tex>k'_i</tex> {{---}} количества граней размера <tex>i</tex> в <tex>R</tex> и <tex>R'</tex> соответственно. Тогда
+
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
 +
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
 +
|proof=
 +
Так как торцевые графы являются деревьями, то количество их вершин на единицу больше количества ребер:
 +
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |V(X)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
 +
Посчитаем <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} </tex>, то есть количество всех исходящих ребер из <tex>X</tex>. По [[Лемма_о_рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]] ребер, с обоих сторон прикрепленных к <tex>X</tex>, будет <tex>2|E(X)|</tex>. Количество ребер, прикрепленных и к <tex>X</tex>, и к <tex>Y</tex>, по определению бонда {{---}} количество ребер в бонде <tex>H</tex>, то есть <tex>|E(H)|</tex>. Отсюда:
 +
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
 +
Вычитаем дважды из формулы <tex>\textbf{(3)}</tex> формулу <tex>\textbf{(2)}</tex> и получаем:
 +
<center> <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>
 +
Полученная формула в правой части не зависит от подграфа, поэтому вычитая вариант для <tex> Y </tex> из <tex>\textbf{(4)}</tex>, приходим к <tex>\textbf{(1)}</tex>.
 +
}}
  
<math>\sum_{i=3}^{V(G)}(i-2)(k_i-k'_i)=0</math>
+
== Использование теоремы ==
|proof=
+
 
[[Файл: HamiltonExampleR.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из гамильтонова цикла выделены красным]]
+
* Сам Гринберг использовал свою теорему для того, чтобы искать негамильтоновы кубические (все вершины имеют степень <tex>3</tex>) полиэдральные графы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%8D%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Полиэдральный граф]</ref> с высокой циклической реберной связностью. Циклическая рёберная связность графа {{---}} это наименьшее число рёбер, которое можно удалить так, чтобы оставшийся граф содержал более чем одну циклическую компоненту. Например он нашел граф с <tex>46</tex> вершинами, <tex>25</tex> гранями и циклической рёберной связностью пять, показанный на рисунке <tex>1</tex>.
Отметим, что в гамильтоновом графе <tex>G</tex>, очевидно, нет [[Мост, эквивалентные определения|мостов]] и граница любой грани {{---}} простой цикл. Поэтому размер границы каждой его грани не более <tex>V(G)</tex>. Пусть <tex>e</tex> и <tex>e'</tex> {{---}} количества рёбер графа <tex>G</tex>, лежащих внутри областей <tex>R</tex> и <tex>R'</tex> соответственно. Так как <tex>C</tex> {{---}} гамильтонов цикл графа <tex>G</tex>, то область R разбита на <tex>e + 1</tex> граней. а область <tex>R'</tex> {{---}} на <tex>e' + 1</tex> граней. Получаем соотношения:
+
 
 +
{|align="center"
 +
|[[Файл: Гамильтонов граф.png|300px|center|thumb|Рис. 1]]
 +
|[[Файл: Новый гамильтонов_бонд.png|500x300px|thumb|Рис. 2]]
 +
|}
  
(1) <math>\sum_{i=3}^{V(G)}k_i=e+1</math>, <math>\sum_{i=3}^{V(G)}k'_i=e'+1</math>
+
* Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>. Тогда левая часть формулы <tex>\textbf{(1)}</tex> не делится на <tex>3</tex> и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок <tex>2</tex> иллюстрирует этот простой пример.
 +
* Чтобы планарный граф существовал и содержал гамильтонов цикл, необходимо выполнение теоремы Гринберга.<ref>Grinberg, È. Ja. (1968), "Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits", Latvian Math. Yearbook 4 (in Russian), Riga: Izdat. “Zinatne”, pp. 51–58, MR 0238732. English translation by Dainis Zeps, [https://arxiv.org/abs/0908.2563v1 arXiv:0908.2563.]</ref>
 +
* Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоновых графов<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Гипогамильтонов граф]</ref> путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>.
  
Каждое внутреннее ребро области <tex>R</tex> входит в границы двух внутренних граней области <tex>R</tex>, а каждое ребро цикла <tex>C</tex> {{---}} в границу одной внутренней грани этой области. Аналогичное соотношение верно и для <tex>R'</tex>. Следовательно,
+
== См. также ==
 +
* [[Гамильтоновы графы]]
 +
* [[Разрез, лемма о потоке через разрез]]
 +
* [[Лемма о рукопожатиях]]
 +
* [[Дерево, эквивалентные определения]]
  
(2) <math>\sum_{i=3}^{V(G)}i*k_i=2e+E(C)</math>, <math>\sum_{i=3}^{V(G)}i*k'_i=2e'+E(C)</math>
+
== Примечания ==
  
Из соотношений (1) и (2) получаем:
+
<references />
  
<math>\sum_{i=3}^{V(G)}i(k_i-k'_i)=2(e - e')=\sum_{i=3}^{V(G)}2(k_i-k'_i)</math>
+
== Источники информации ==
 +
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7
 +
* [https://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/graphs_dk.pdf Д.В. Карпов. Теория графов. c. 301]
  
откуда немедленно следует доказываемое утверждение.
+
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
}}
+
[[Категория:Обходы графов]]
 +
[[Категория:Гамильтоновы графы]]

Текущая версия на 19:35, 4 сентября 2022

Базовые определения

Определение:
Подграф (англ. subgraph) исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.


Определение:
Бонд (англ. bond) графа — это минимальный (по включению) непустой разрез графа [math]G[/math].


Определение:
Минимальный (по включению) (англ. minimal by inclusion) разрез графа [math]G[/math] — разрез, из которого нельзя выделить разрезы с меньшим количеством ребер.


Лемма:
Разрез [math]E(V_1, V_2)[/math] связного графа [math]G[/math] является бондом, если и только если оба графа [math]G(V_1)[/math] и [math]G(V_2)[/math] связны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для удобства примем [math]E = E(V_1, V_2)[/math].

[math]\Rightarrow[/math]. Пусть [math]E[/math] — бонд. Докажем, что для любого ребра [math]e \in E[/math] граф [math]G - E + e[/math] связен. Действительно, пусть этот граф несвязен и имеет, скажем, компоненты связности [math]U_1[/math] и [math]U_2[/math]. Тогда [math]E \supsetneq E(U_1, U_2)[/math], а из связности графа [math]G[/math] следует, что [math]E(U_1, U_2) \neq \varnothing[/math]. Противоречие с минимальностью [math]E[/math].

Теперь докажем, что подграфы [math]G(V_1) \text{ и } G(V_2)[/math] связны. Рассмотрим отдельно подграф [math]G(V_1)[/math], если он не связный, то имеет как минимум [math]2[/math] компоненты связности, назовем их [math]O_1 \text{ и } O_2[/math].

[math]e \in E [/math] можно также представить как [math]e = (u, v) \text{ при этом } u \in G(V_1), v \in G(V_2)[/math], то есть [math]u \in O_1 \mid u \in O_2[/math], и граф [math] G - E + e [/math] состоит из [math]2[/math] компонент — [math](O_1 \cup G(V_2), O_2) \mid (O_2 \cup G(V_2), O_1)[/math], что противоречит условию связности. Так же доказывается связность [math]G(V_2)[/math].

[math]\Leftarrow[/math]. Если оба графа [math]G(V_1)[/math] и [math]G(V_2)[/math] — связны, то добавление любого ребра из [math]E[/math] даст нам связный подграф графа [math]G[/math], содержащий все его вершины. Значит, в этом случае разрез [math]E[/math] минимален по включению. В силу связности [math]G[/math] этот разрез непуст, то есть, является бондом.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Подграфы [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math] из предыдущей леммы называются торцевыми графами (англ. end graph).

Также стоит отметить, что если граф [math] G [/math] несвязен, то его бонд определим как бонд какой-либо его компоненты, а всякий мост графа образует однореберный бонд. Торцевые графы моста являются торцевыми графами соответствующего бонда.


Определение:
Гамильтоновым бондом (англ. hamiltonian bond) называется бонд графа [math] G [/math], торцевыми графами которого являются деревья.


Теорема Гринберга

Теорема (Гринберг):
Пусть связный граф [math] G [/math] имеет гамильтонов бонд [math] H [/math] с торцевыми графами [math] X [/math] и [math] Y [/math]. Пусть [math] f_n^{X} [/math] и [math] f_n^{Y} [/math] — число вершин в графов [math] X [/math] и [math] Y [/math] соответственно, имеющих в [math] G [/math] степень [math] n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) [/math]. Тогда:
[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как торцевые графы являются деревьями, то количество их вершин на единицу больше количества ребер:

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |V(X)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} [/math].

Посчитаем [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} [/math], то есть количество всех исходящих ребер из [math]X[/math]. По лемме о рукопожатиях ребер, с обоих сторон прикрепленных к [math]X[/math], будет [math]2|E(X)|[/math]. Количество ребер, прикрепленных и к [math]X[/math], и к [math]Y[/math], по определению бонда — количество ребер в бонде [math]H[/math], то есть [math]|E(H)|[/math]. Отсюда:

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} [/math].

Вычитаем дважды из формулы [math]\textbf{(3)}[/math] формулу [math]\textbf{(2)}[/math] и получаем:

[math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} [/math].
Полученная формула в правой части не зависит от подграфа, поэтому вычитая вариант для [math] Y [/math] из [math]\textbf{(4)}[/math], приходим к [math]\textbf{(1)}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Использование теоремы

  • Сам Гринберг использовал свою теорему для того, чтобы искать негамильтоновы кубические (все вершины имеют степень [math]3[/math]) полиэдральные графы[1] с высокой циклической реберной связностью. Циклическая рёберная связность графа — это наименьшее число рёбер, которое можно удалить так, чтобы оставшийся граф содержал более чем одну циклическую компоненту. Например он нашел граф с [math]46[/math] вершинами, [math]25[/math] гранями и циклической рёберной связностью пять, показанный на рисунке [math]1[/math].
Рис. 1
Рис. 2
  • Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа [math] G [/math], кроме одной, имеют степени, сравнимые с [math]2[/math] по модулю [math]3[/math]. Тогда левая часть формулы [math]\textbf{(1)}[/math] не делится на [math]3[/math] и, следовательно, гамильтонова бонда в графе [math] G [/math] не существует. Рисунок [math]2[/math] иллюстрирует этот простой пример.
  • Чтобы планарный граф существовал и содержал гамильтонов цикл, необходимо выполнение теоремы Гринберга.[2]
  • Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоновых графов[3] путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с [math]2[/math] по модулю [math]3[/math].

См. также

Примечания

  1. Википедия — Полиэдральный граф
  2. Grinberg, È. Ja. (1968), "Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits", Latvian Math. Yearbook 4 (in Russian), Riga: Izdat. “Zinatne”, pp. 51–58, MR 0238732. English translation by Dainis Zeps, arXiv:0908.2563.
  3. Википедия — Гипогамильтонов граф

Источники информации