Редактирование: Теорема Джексона

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Теорема_Лузина-Данжуа|<<]][[Об_интеграле_Фурье|>>]]
+
Пофиксите в общем, эту муть, а то я уже офигеваю с этого. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:32, 24 июня 2012 (GST)
 
+
{{В разработке}}
 
Ранее нами введено [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | наилучшее приближение]] в <tex> C </tex>:
 
Ранее нами введено [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | наилучшее приближение]] в <tex> C </tex>:
  
Строка 50: Строка 50:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
+
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
 
}}
 
}}
  
Так как ядро Джексона является тригонометрическим полиномом, то <tex> \int\limits_Q d_n(t) = 2\pi a_0 = 2\pi d_1(t) = 2\pi \frac3{2 \pi \cdot 1 \cdot 3} \left( \frac{\sin\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 = 1</tex>.
+
<tex> \int\limits_Q d_n(t) = 1 </tex> {{TODO|t=а доказать?}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{\pi}{n} </tex>
+
<tex> \int\limits_0^{\pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1}{n} </tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex> \int\limits_0^{\pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} </tex>
 
<tex> \int\limits_0^{\pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} </tex>
  
<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le </tex>
+
<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le </tex>
<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{3}{n} </tex>
+
<tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{1}{n} </tex>
  
<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{3}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \right) \le b \frac{3}{n} </tex>. Неравенство установили.
+
<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{1}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \right) \le b \frac{1}{n} </tex>. Неравенство установили.
 
}}
 
}}
  
Строка 79: Строка 79:
 
<tex> Y_n(f) \in H_{2n - 2} </tex>  
 
<tex> Y_n(f) \in H_{2n - 2} </tex>  
  
<tex> E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, 2 \cdot \frac{3}{4 n}) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
+
<tex> E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, \frac{3}{4 n}) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
 
 
 
Для четных членов:
 
Для четных членов:
 
: <tex> E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
 
: <tex> E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>
Строка 115: Строка 114:
 
Подставим это в предыдущее равенство вместо <tex> T </tex>:
 
Подставим это в предыдущее равенство вместо <tex> T </tex>:
  
<tex> E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) (\star)</tex>  
+
<tex> E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) </tex>  
  
<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx </tex>  
+
<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx </tex>  
  
<tex> f </tex> — <tex> 2 \pi </tex>-периодична <tex> \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0 </tex>
+
<tex> f' </tex> — <tex> 2 \pi </tex>-периодична <tex> \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0 </tex>
  
<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx </tex> <tex> \le \frac{1}{2 \pi} 2 \pi \sup\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x)) = \| T_n(f') - f'\|_C = E_n(f') </tex>. Подставим в <tex>(\star)</tex> и получим в итоге следующее:
+
<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx </tex>  
 +
 
 +
<tex> |\frac12 a_0(T_n(f'))| \le \| T_n(f') - f'\| = E_n(f') </tex>
 +
 
 +
Утверждение:
  
{{Утверждение
 
|statement=
 
 
<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f')  </tex>
 
<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f')  </tex>
|proof=
 
Следует из написанного выше.
 
}}
 
  
 
<tex> p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>  
 
<tex> p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>  
Строка 141: Строка 139:
  
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Википедия — Ядро Джексона]
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Википедия — Ядро Джексона]
 
[[Теорема_Лузина-Данжуа|<<]][[Об_интеграле_Фурье|>>]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)