152
правки
Изменения
Нет описания правки
<tex> |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| </tex>
Если <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> сходится, то тригонометрический ряд также будет абсолютно сходящимся.
Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.
Рассмотрим, например, <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!} </tex>, тогда при <tex> n \ge k: \sin(\pi n! x_k) = \sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0 </tex>, то есть, ряд абсолютно сходится. Однако, <tex> b_{n!} = 1 </tex>, и ряд из коэффициентов расходится.
Однако, есть важная теорема:
<tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} </tex> равно <tex> E_{n-1}(f)_2 </tex>
<tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \le \frac{1}{\sqrt{n-1}} </tex>
Таким образом, получили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.
