Теорема Лузина-Данжуа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(вроде допилил)
Строка 1: Строка 1:
не трогать, пилю! --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 12:44, 24 июня 2012 (GST)
 
{{В разработке}}
 
 
 
Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:
 
Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:
  
Строка 24: Строка 21:
 
Лузин, Данжуа
 
Лузин, Данжуа
 
|statement=
 
|statement=
Пусть тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся.
+
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
 
|proof=
 
|proof=
<tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| </tex> — сходится для любого <tex> x </tex> в <tex> A </tex>, где <tex> \lambda A > 0 </tex>.
+
<tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| </tex> — сходится для любого <tex> x </tex> в <tex> A </tex> по условию теоремы, где <tex> \lambda A > 0 </tex>
  
<tex> r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)| </tex>
+
Пусть <tex> \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) </tex> — измерима и конечна на <tex> A </tex>, так как <tex> r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)| </tex>.
  
<tex> \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) </tex> — измеримо и конечно на <tex> A </tex>.
+
Тогда <tex> \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) </tex> — ограничена на <tex> A_0 </tex>. <tex> A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \Rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0 </tex>, обозначим такой <tex>A_{n_0} </tex> за <tex> A_0 </tex>.
  
Тогда <tex> \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) </tex> — ограничено на <tex> A_0 </tex>
+
На <tex> A_0 </tex> <tex> \alpha </tex> — суммируема, по [[теореме Б. Леви]] ряд можно почленно интегрировать.
  
<tex> A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0 </tex>
+
<tex> \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) = </tex>{{TODO|t=какого фига зависимость \phi от x появилась?}} <tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x})}{2} </tex>
  
На <tex> A_0 \alpha </tex> — суммируема, по [[теореме Б. Леви]] ряд можно почленно интегрировать.
+
<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(2\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(2\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right) </tex>. Оба интеграла стремятся к нулю по [[лемме Римана-Лебега]], следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше <tex> -\frac12 \lambda A_0 </tex> , а значит, <tex> n </tex>-е слагаемое ряда больше <tex> \frac12 r_n \frac12 \lambda A_0 </tex>. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n </tex>.
 
 
<tex> \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) </tex>  = {{TODO|t=какого фига зависимость \phi от x появилась?}}
 
 
 
<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x}}{2}) =  </tex>
 
 
 
<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right) </tex>. Оба интеграла стремятся к нулю по [[лемме Римана-Лебега]], следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше - <tex> \frac12 \lambda A_0 </tex> , а значит, <tex> n </tex>-е слагаемое ряда больше <tex> \frac12 r_n \frac12 \lambda A_0 </tex>. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость <tex> \sum\limits_1^{\infty} r_n </tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Таким образом, отождествили сходимость рядов <tex> \sum\limits_1^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> и <tex> \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex>.
+
Таким образом, отождествили сходимость рядов <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex>.
  
 
Запишем условие абсолютной сходимости на языке [[наилучших приближений]].
 
Запишем условие абсолютной сходимости на языке [[наилучших приближений]].
Строка 51: Строка 42:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_1^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>
+
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>
  
 
Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
 
Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
 
|proof=
 
|proof=
<tex> E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)) </tex>. Докажем, что <tex> \sum \sqrt{a_k^2 + b_k^2} < + \infty </tex> в условиях теоремы <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} =  </tex>
+
<tex> E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)) </tex>. Для абсолютной сходимости достаточно доказать, что <tex> \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} < + \infty </tex> в условиях теоремы.
  
<tex> \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits{n = 1}^{k} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le </tex> (используем [[неравенство Коши для сумм]])
+
<tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} =</tex> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le </tex> (используем [[неравенство Коши для сумм]])
 +
<tex> \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}  \frac1{k^2} \right)^{\frac12} </tex>
  
<tex> \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} </tex>
+
<tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} </tex> равно <tex> c E_{n-1}(f)_2 </tex>
  
Выражение под первой суммой равно <tex> E_{n-1}(f)_{L_2} </tex>, вторая сумма <tex> \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \xrightarrow[k \to \infty]{} (\frac1n)^{\frac12} </tex>
+
<tex> \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \le \frac{1}{\sqrt{n-1}} </tex>
  
Таким образом, <tex> < \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.
+
Таким образом, получили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.
 
}}
 
}}
 +
 +
== См. также ==
 +
[http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Luzin_theorem Denjoy-Luzin_theorem]

Версия 17:23, 24 июня 2012

Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:

[math] \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math]

[math] |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| [/math]

Если [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) [/math] сходится, то тригонометрический ряд также будет сходящимся.

Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.

Рассмотрим, например, [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!} [/math], тогда при [math] n \ge k: \sin(\pi n! x_k) = \sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0 [/math], то есть ряд абсолютно сходится. Однако, [math] b_{n!} = 1 [/math], и ряд из коэффициентов расходится.

Однако, есть важная теорема:

[math] a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \varphi_n) [/math]

[math] \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2} [/math], следовательно, ряды [math] \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) [/math] и [math] \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) [/math] равносходятся.

Теорема (Лузин, Данжуа):
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из [math] r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} [/math] сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| [/math] — сходится для любого [math] x [/math] в [math] A [/math] по условию теоремы, где [math] \lambda A \gt 0 [/math]

Пусть [math] \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) [/math] — измерима и конечна на [math] A [/math], так как [math] r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)| [/math].

Тогда [math] \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 \gt 0, \alpha(x) [/math] — ограничена на [math] A_0 [/math]. [math] A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A \gt 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \Rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} \gt 0 [/math], обозначим такой [math]A_{n_0} [/math] за [math] A_0 [/math].

На [math] A_0 [/math] [math] \alpha [/math] — суммируема, по теореме Б. Леви ряд можно почленно интегрировать.

[math] \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) = [/math] TODO: какого фига зависимость \phi от x появилась? [math] = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x})}{2} = [/math]

[math] = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(2\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(2\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right) [/math]. Оба интеграла стремятся к нулю по лемме Римана-Лебега, следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше [math] -\frac12 \lambda A_0 [/math] , а значит, [math] n [/math]-е слагаемое ряда больше [math] \frac12 r_n \frac12 \lambda A_0 [/math]. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, отождествили сходимость рядов [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] и [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) [/math].

Запишем условие абсолютной сходимости на языке наилучших приближений.

Теорема:
[math] f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} \lt + \infty [/math] Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)) [/math]. Для абсолютной сходимости достаточно доказать, что [math] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \lt + \infty [/math] в условиях теоремы.

[math]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} =[/math] [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le [/math] (используем неравенство Коши для сумм) [math] \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac1{k^2} \right)^{\frac12} [/math]

[math] \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} [/math] равно [math] c E_{n-1}(f)_2 [/math]

[math] \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \le \frac{1}{\sqrt{n-1}} [/math]

Таким образом, получили, что [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} \lt + \infty [/math], таким образом, ряд из [math] r_n [/math] сходится.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Denjoy-Luzin_theorem