Теорема Менгера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 13 промежуточных версий 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и  ''вершинно непересекающиеся пути''.
Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''k-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную k-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную k-связность'' и  ''вершинно непересекающиеся пути''.
 
  
 
==Подготовка к доказательству==
 
==Подготовка к доказательству==
Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее [[Определение сети, потока|теорией потоков]]. Кроме базовых определений нам потребуется понятие [[Дополняющая сеть, дополняющий путь| остаточной сети]] (иначе - дополнительной сети), а также [[Теорема_Форда-Фалкерсона|теорема Форда-Фалкерсона]].
+
Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее [[Определение сети, потока|теорией потоков]]. Кроме базовых определений нам потребуется понятие [[Дополняющая сеть, дополняющий путь| остаточной сети]] (иначе {{---}} дополнительной сети), а также [[Теорема_Форда-Фалкерсона|теорема Форда-Фалкерсона]].
  
Кроме того потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:
+
Кроме того, потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about=о целочисленности потока
 
|about=о целочисленности потока
 
|statement=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Если пропускные способности всех ребер целочисленные (сеть целочислена), то существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре.
 
|statement=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Если пропускные способности всех ребер целочисленные (сеть целочислена), то существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре.
 
|proof=
 
|proof=
:Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней - читай в соответствующей статье):
+
:Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней {{---}} читай в соответствующей статье):
  
:''1.'' В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
+
:# В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
 +
:# В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути.
 +
:# Повторяем пункт <tex>2</tex> до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.
  
:''2.'' В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути.
+
:То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.
 +
}}
  
:''3.'' Повторяем пункт ''2'' до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.
+
И, наконец, сделаем немного более осознанным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны <tex>1</tex>, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.
 +
|proof=
 +
: Считаем, что <tex>u</tex> {{---}} источник, <tex>v</tex> {{---}} сток.
 +
: В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным <tex>1</tex>. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
  
:То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.
+
:Итак, найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен <tex>1</tex>. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов.
 
}}
 
}}
  
Строка 26: Строка 33:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=Менгера о реберной двойственности в ориентированном графе
 
|about=Менгера о реберной двойственности в ориентированном графе
|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v\; \exists L</tex> реберно непересекающихся путей <tex>\Leftrightarrow</tex> после удаления <tex>\forall L-1</tex> ребер <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
+
|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> ребер существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
:<tex>\Leftarrow</tex>
+
<tex>\Leftarrow</tex>
 +
:Как и прежде, пусть <tex>u</tex> {{---}} источник, а <tex>v</tex> {{---}} сток.
 +
:Назначим каждому ребру пропускную способность <tex>1</tex>. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
 +
:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей.
  
:Назначим каждому ребру пропускную способность 1. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре(по лемме).
+
<tex>\Rightarrow</tex>
:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. По условию «после удаления <tex>\forall L-1</tex> (и в частности тех, что находятся в нашем разрезе) ребер все еще будет <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>», значит пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока <tex>\geqslant L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что <tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей (чуть позже дадим аккуратное объяснение этому).
+
:Существует <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 +
}}
  
:<tex>\Rightarrow</tex>
+
{{Теорема
:<tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит удалив любых <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
+
|about=Менгера о вершинной двойственности в ориентированном графе
}}
+
|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> вершинно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> вершин существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 +
|proof=
  
// Логично переместить в раздел "подготовка к доказательству"
+
:Разобьем каждую вершину на две таким образом:
Небольшой комментарий к доказательству <tex>\Leftarrow</tex>:
 
  
''Если в сети, где все пропускные способности равны 1 существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.''
+
:[[Файл:Menger-vertex.JPG]]
  
Поясним это: найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен 1. Такой маршут обязательно существует, пока величина потока больше 0 (иначе легко получается противоречие: рассмотрим множество вершин достижимых по ненулевым ребрам из стока и построим по нему разрез. Пропускная способность разреза равна 0, значит и поток должен быть не больше 0). Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы неизбежно выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов, что и требуется.
+
:''(все входящие ребра заходят в левую вершину, исходящие выходят из правой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро)''
  
//все остальные теоремы
+
:Теперь задача практически сведена к первой теореме.
 +
:Необходимо лишь отметить, что если в старом графе пути вершинно пересекаются, то в новом графе пути необходимо реберно пересекаются и наоборот.
 +
:Кроме того, предложение "удалить в исходном графе любые <tex>L</tex> вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить любые <tex>L</tex> ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.
 +
}}
 +
<includeonly>
 +
Теоремы для неориентированного графа формулируются идентично, а их доказательства сводятся к своим ориентированным двойникам путем замены каждого ребра на две дуги:
  
==Смотри также==
+
[[Файл:Menger_undirected.JPG‎]]
 +
</includeonly>
 +
 
 +
==См. также==
 
*[[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
 
*[[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
==Литература==
+
* [[wikipedia:Menger's theorem | Wikipedia {{---}} Menger's theorem ]]
* Ловас Л., Пламмер М. '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' 1998. 656 с. ISBN 5-03-002517-0 (глава 2.4 стр. 117)
+
 
 +
==Источники информации==
 +
* Ловас Л., Пламмер М. {{---}} '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' (глава 2.4 стр. 117) {{---}} 1998. {{---}} 656 с. {{---}} ISBN 5-03-002517-0  
 +
* Харари Ф. '''Теория графов.''' глава 5 — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
  
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
 
[[Категория:Связность в графах]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как [math]k[/math]-связность и количество непересекающихся путей относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ориентированном или неориентированном графе, и подразумеваем ли реберную [math]k[/math]-связность и реберно непересекающиеся пути или же вершинную [math]k[/math]-связность и вершинно непересекающиеся пути.

Подготовка к доказательству

Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее теорией потоков. Кроме базовых определений нам потребуется понятие остаточной сети (иначе — дополнительной сети), а также теорема Форда-Фалкерсона.

Кроме того, потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:

Лемма (о целочисленности потока):
      Если пропускные способности всех ребер целочисленные (сеть целочислена), то существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства достаточно рассмотреть алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней — читай в соответствующей статье):
  1. В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
  2. В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути.
  3. Повторяем пункт [math]2[/math] до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.
То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

И, наконец, сделаем немного более осознанным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:

Утверждение:
Если в сети, где все пропускные способности ребер равны [math]1[/math], существует целочисленный поток величиной [math]L[/math] то существует и [math]L[/math] реберно непересекающихся путей.
[math]\triangleright[/math]
Считаем, что [math]u[/math] — источник, [math]v[/math] — сток.
В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из [math]u[/math] в [math]v[/math] лежащий только на ребрах с потоком равным [math]1[/math]. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины [math]u[/math] существуют, не включающее [math]v[/math], и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. [math]f(U,V)=|f|[/math], смотри первую лемму).
Итак, найдем какой-нибудь маршрут из [math]u[/math] в [math]v[/math] лежащий только на ребрах где поток равен [math]1[/math]. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной [math]L-1[/math]. Ясно, что можно повторить тоже самое еще [math]L-1[/math] раз, и, таким образом мы выделим [math]L[/math] реберно непересекающихся маршрутов.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема

Теперь сама теорема будет тривиальным следствием. В начале сформулируем и докажем реберную версию для случая ориентированного графа.

Теорема (Менгера о реберной двойственности в ориентированном графе):
Между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math] существует [math]L[/math] реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых [math](L-1)[/math] ребер существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Leftarrow[/math]

Как и прежде, пусть [math]u[/math] — источник, а [math]v[/math] — сток.
Назначим каждому ребру пропускную способность [math]1[/math]. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе [math]L-1[/math] ребер, и тогда, раз [math]u[/math] и [math]v[/math] находятся в разных частях разреза и, существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше [math]L[/math]. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется [math] L[/math] реберно непересекающихся путей.

[math]\Rightarrow[/math]

Существует [math] L[/math] реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые [math]L-1[/math] ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Менгера о вершинной двойственности в ориентированном графе):
Между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math] существует [math]L[/math] вершинно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых [math](L-1)[/math] вершин существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Разобьем каждую вершину на две таким образом:
Menger-vertex.JPG
(все входящие ребра заходят в левую вершину, исходящие выходят из правой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро)
Теперь задача практически сведена к первой теореме.
Необходимо лишь отметить, что если в старом графе пути вершинно пересекаются, то в новом графе пути необходимо реберно пересекаются и наоборот.
Кроме того, предложение "удалить в исходном графе любые [math]L[/math] вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить любые [math]L[/math] ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.
[math]\triangleleft[/math]


См. также

Источники информации

  • Ловас Л., Пламмер М. — Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии (глава 2.4 стр. 117) — 1998. — 656 с. — ISBN 5-03-002517-0
  • Харари Ф. Теория графов. глава 5 — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)