Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(merge)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Теорема Радо-Эдмондса ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Строка 11: Строка 12:
  
 
Тогда верны два неравенства:
 
Тогда верны два неравенства:
<br><tex>\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) \ge \omega (B) \Rightarrow \omega (A) \ge \omega (B) - \omega (y)</tex>,
+
<br><tex>\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) \geqslant \omega (B) \Rightarrow \omega (A) \geqslant \omega (B) - \omega (y)</tex>,
<br><tex>\omega (B \setminus y) = \omega (B) - \omega (y) \ge \omega (A)</tex>.
+
<br><tex>\omega (B \setminus y) = \omega (B) - \omega (y) \geqslant \omega (A)</tex>.
  
 
Заметим, что величина <tex>\omega (A)</tex> с двух сторон ограничивает величину <tex>\omega (B) - \omega (y)</tex>. Значит, эти величины равны:  
 
Заметим, что величина <tex>\omega (A)</tex> с двух сторон ограничивает величину <tex>\omega (B) - \omega (y)</tex>. Значит, эти величины равны:  
Строка 24: Строка 25:
  
 
== Жадный алгоритм поиска базы минимального веса ==
 
== Жадный алгоритм поиска базы минимального веса ==
 
+
Обозначим: <br>
 +
<tex>n = |X|</tex> <br>
 +
<tex>m =</tex> время, за которое мы проверяем на независимость. <br>
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Строка 32: Строка 35:
 
|proof=
 
|proof=
 
Псевдокод алгоритма:
 
Псевдокод алгоритма:
  <tex>sort(X)</tex>   // сортируем элементы по возрастанию веса
+
  sort(X)   <span style="color:green">// сортируем элементы по возрастанию веса</span>
 
  <tex>B \leftarrow \varnothing</tex>
 
  <tex>B \leftarrow \varnothing</tex>
  '''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>|X|-1</tex> '''do'''
+
  '''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n-1</tex> '''do'''
 
   '''if''' <tex>B \cup X[i] \in I</tex>
 
   '''if''' <tex>B \cup X[i] \in I</tex>
 
     <tex>B \leftarrow B \cup X[i]</tex>
 
     <tex>B \leftarrow B \cup X[i]</tex>
Строка 41: Строка 44:
 
Понятно, что все базы имеют одинаковую мощность (иначе в меньшую можно было бы добавить элемент из большей по аксиоме матроидов, что противоречит определению базы). По [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)|теореме Радо-Эдмондса]] множество минимального веса, имеющее мощность базы, (то есть база минимального веса) ищется последовательным добавлением в изначально пустое множество элементов минимального веса из <tex>X</tex> так, чтобы после каждого добавления множество оставалось независимым.
 
Понятно, что все базы имеют одинаковую мощность (иначе в меньшую можно было бы добавить элемент из большей по аксиоме матроидов, что противоречит определению базы). По [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)|теореме Радо-Эдмондса]] множество минимального веса, имеющее мощность базы, (то есть база минимального веса) ищется последовательным добавлением в изначально пустое множество элементов минимального веса из <tex>X</tex> так, чтобы после каждого добавления множество оставалось независимым.
  
Алгоритм работает за <tex>O(|X| \log(|X|))</tex>. На сортировку элементов из <tex>X</tex> по возрастанию весов уходит <tex>O(|X| \log(|X|))</tex> и <tex>O(|X|)</tex> шагов цикла, каждый из которых работает <tex>O(1)</tex> времени (если считать, что проверка множества на независимость происходит за <tex>O(1)</tex>).
+
Алгоритм работает за <tex>O(m \cdot n \log n)</tex>. На сортировку элементов из <tex>X</tex> по возрастанию весов уходит <tex>O(n \log n)</tex> и <tex>O(n)</tex> шагов цикла, каждый из которых работает <tex>O(m)</tex> времени. Однако, если считать, что проверка множества на независимость происходит за <tex>O(1)</tex>, асимптотика алгоритма будет <tex>O(n \log n)</tex>
 
}}
 
}}
  
 
== Примеры задач ==
 
== Примеры задач ==
 +
* [http://informatics.mccme.ru/mod/statements/view.php?id=3580| informatics:mccme:ru:Остовное дерево]
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
* [[wikipedia:ru:Жадный алгоритм Радо — Эдмондса | Википедия — Жадный алгоритм Радо-Эдмондса]]
 
* [[wikipedia:ru:Жадный алгоритм Радо — Эдмондса | Википедия — Жадный алгоритм Радо-Эдмондса]]
 
* [http://www.mathematik.hu-berlin.de/~wilhelm/greedy-vortrag.pdf| Greedy Algorithm And Edmonds Matroid Intersection Algorithm]
 
* [http://www.mathematik.hu-berlin.de/~wilhelm/greedy-vortrag.pdf| Greedy Algorithm And Edmonds Matroid Intersection Algorithm]
 +
* [http://habrahabr.ru/post/120343/| Habrahabr:Жадные алгоритмы]
 +
 +
== Смотрите также ==
 +
* [[Теорема о базах]]
 +
* [[Теорема Эдмондса-Лоулера]]
  
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Матроиды]]
 
[[Категория:Матроиды]]

Версия 20:36, 17 июня 2014

Теорема Радо-Эдмондса

Теорема (Радо-Эдмондса):
На носителе матроида [math]M = \langle X, I \rangle[/math] задана весовая функция [math]\omega: X \to \mathbb R[/math]. Пусть [math]A \in I[/math] — множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k[/math]. Возьмем [math]x: A \cup x \in I[/math], [math]x \notin A[/math], [math]\omega (x)[/math] — минимальна.
Тогда [math]A \cup x[/math] — множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]B \in I[/math] — множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math].

Из определения матроида: [math]\exists y \in B\setminus A : A \cup y \in I[/math].

Тогда верны два неравенства:
[math]\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) \geqslant \omega (B) \Rightarrow \omega (A) \geqslant \omega (B) - \omega (y)[/math],
[math]\omega (B \setminus y) = \omega (B) - \omega (y) \geqslant \omega (A)[/math].

Заметим, что величина [math]\omega (A)[/math] с двух сторон ограничивает величину [math]\omega (B) - \omega (y)[/math]. Значит, эти величины равны: [math]\omega (A) = \omega (B) - \omega (y) \Rightarrow \omega (A) + \omega (y) = \omega (B)[/math].

Следовательно, [math]\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) = \omega (B)[/math].

Таким образом получаем, что если объединить множество [math]A[/math] с [math]x[/math] — минимальным из таких, что [math]A \cup x \in I[/math], — то получим множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Жадный алгоритм поиска базы минимального веса

Обозначим:
[math]n = |X|[/math]
[math]m =[/math] время, за которое мы проверяем на независимость.

Теорема (жадный алгоритм поиска базы минимального веса):
Пусть на носителе матроида [math]M = \langle X, I \rangle[/math] задана весовая функция [math]\omega: X \to \mathbb R[/math]. Для любого [math]A \subset X[/math] выполнено: [math]\omega(A) = \sum\limits _{x \in A} \omega(x)[/math]. Тогда база минимального веса матроида [math]M[/math] ищется жадно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Псевдокод алгоритма:

sort(X)    // сортируем элементы по возрастанию веса
[math]B \leftarrow \varnothing[/math]
for [math]i \leftarrow 0[/math] to [math]n-1[/math] do
  if [math]B \cup X[i] \in I[/math]
    [math]B \leftarrow B \cup X[i][/math]

Рассмотрим шаг алгоритма, когда мы пытаемся добавить элемент [math]X[i][/math]. Заметим, что если его можно добавить с сохранением независимости множества [math]B[/math], то это элемент минимального веса не из [math]B[/math], который можно добавить (при условии сохранения независимости [math]B[/math] при добавлении). В самом деле, пусть [math]X[j][/math] — элемент минимального веса не из [math]B[/math], который можно добавить к [math]B[/math] с сохранением его независимости, тогда [math]j\lt i[/math]. Но тогда он уже был бы добавлен на [math]j[/math]-ом шаге алгоритма.

Понятно, что все базы имеют одинаковую мощность (иначе в меньшую можно было бы добавить элемент из большей по аксиоме матроидов, что противоречит определению базы). По теореме Радо-Эдмондса множество минимального веса, имеющее мощность базы, (то есть база минимального веса) ищется последовательным добавлением в изначально пустое множество элементов минимального веса из [math]X[/math] так, чтобы после каждого добавления множество оставалось независимым.

Алгоритм работает за [math]O(m \cdot n \log n)[/math]. На сортировку элементов из [math]X[/math] по возрастанию весов уходит [math]O(n \log n)[/math] и [math]O(n)[/math] шагов цикла, каждый из которых работает [math]O(m)[/math] времени. Однако, если считать, что проверка множества на независимость происходит за [math]O(1)[/math], асимптотика алгоритма будет [math]O(n \log n)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Примеры задач

Источники информации

Смотрите также