|proof=
Рассмотрим <tex>B \in I</tex> - множество минимального веса среди независимых подмножеств <tex>X</tex> мощности <tex>k + 1</tex>.
<br>Из определения матроида : <tex>\exists y \in B\setminus A : A \cup y \in I</tex>.<br>Тогда верны два неравенства:<br><tex>\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) \ge \omega (B) \Rightarrow \omega (A) \ge \omega (B) - \omega (y)</tex>,<br><tex>\omega (B \setminus y) = \omega (B) - \omega (y) \ge \omega (A)</tex>. <br>Заметим, что величина <tex>\omega (A)</tex> с двух сторон ограничивает величину <tex>\omega (B) - \omega (y)</tex>. Значит, эти величины равны: <br><tex>\omega (A) = \omega (B) - \omega (y) \Rightarrow \omega (A) + \omega (y) = \omega (B)</tex>. <br>Следовательно,<br><tex>\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) = \omega (B)</tex>. <br>Таким образом получаем, что если объединить множество <tex>A</tex> с <tex>x</tex> - — минимальным из таких, что <tex>A \cup x \in I</tex>, — то получим множество минимального веса среди независимых подмножеств <tex>X</tex> мощности <tex>k + 1</tex>.
}}
