Теорема Татта о существовании полного паросочетания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Критерий Татта)
 
(не показана 21 промежуточная версия 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =<tex>o(\mathbb{G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>\mathbb{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' {{---}} это компонента связности, содержащая нечетное число вершин.  
+
|id = odd
 +
|definition =<tex>\mathrm{odd}({G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин.  
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition ='''Множество Татта''' графа <tex>\mathbb{G}</tex> {{---}} множество <tex>S \subset \mathbb{V_{G}}</tex>, для которого выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) > \left\vert S \right\vert</tex>
+
|id = Tutt_set
 +
|definition ='''Множество Татта''' графа <tex>{G}</tex> {{---}} множество <tex>S \subset {V_{G}}</tex>, для которого выполнено условие: <tex>\mathrm{odd}({G} \setminus S) > \left\vert S \right\vert</tex>
 
}}
 
}}
  
 
==Критерий Татта==
 
==Критерий Татта==
Пусть <tex>\mathbb{G'}</tex> {{---}} граф, полученный из <tex>\mathbb{G}</tex>, добавлением ребер, при этом в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого нового ребра.
+
Пусть <tex>{G'}</tex> {{---}} граф, полученный из <tex>{G}=\langle {V},{E} \rangle</tex> добавлением ребер, при этом в <tex>{G'}</tex> нет [[Теорема Холла#def1|полного паросочетания]], но оно появляется при добавлении любого нового ребра.
  
Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>.
+
Так как новых вершин не добавлялось, то <tex>{G'}=\langle {V},{E'}\rangle </tex>
  
Очевидно, что <tex>\left\vert U \right\vert \ne n</tex>, потому что <tex>G'</tex> {{---}} не полный граф.  
+
Пусть <tex> U = \{ v \in {V}: \deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>.
 +
 
 +
Очевидно, что <tex>\left\vert U \right\vert \ne n</tex>, потому что <tex>{G'}</tex> {{---}} не полный граф.  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement= <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
+
|statement= <tex>{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
|proof=Пусть это не так, тогда существуют вершины <tex>x,y,z \in \mathbb{V_\mathbb{G'}} \setminus U</tex>, такие что <tex>xy, yz \in \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>, но <tex>xz \notin \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>. Так как <tex>y \notin U</tex>, то <tex>\exists t \notin U: yt \notin \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>.
+
|proof=Пусть это не так, тогда существуют вершины <tex>x,y,z \in {V} \setminus U</tex>, такие что <tex>xy, yz \in {E'}</tex>, но <tex>xz \notin {E'}</tex>. Так как <tex>y \notin U</tex>, то <tex>\exists t \notin U: yt \notin {E'}</tex>.
  
В графе <tex>\mathbb{G'}+xz</tex> существует полное паросочетание <tex>M_1</tex>, так как граф <tex>\mathbb{G'}</tex> максимальный по построению. Аналогично, в графе <tex>\mathbb{G'}+yt</tex> существует полное паросочетание <tex>M_2</tex>. Так как в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания, то <tex>xz \in M_1</tex> и <tex>yt \in M_2</tex>.  
+
По построению <tex>{G'}</tex> в графе <tex>{G'}+xz</tex> существует полное паросочетание <tex>M_1</tex>. Аналогично, в графе <tex>{G'}+yt</tex> существует полное паросочетание <tex>M_2</tex>. Так как в <tex>{G'}</tex> нет полного паросочетания, то <tex>xz \in M_1</tex> и <tex>yt \in M_2</tex>.  
  
 
Возможны два случая:
 
Возможны два случая:
 +
# Вершины <tex>x,z</tex> и <tex>y,t</tex> лежат в разных полных подграфах графа <tex>{G'} \setminus U</tex>, обозначим их <tex>H_1</tex> и <tex>H_2</tex>, соответственно.
 +
#: Покроем вершины подграфа <tex>H_1</tex> паросочетанием <tex>M_2</tex>, при этом заметим, что ребро <tex>xz</tex> не входит в это паросочетание. Аналогично покроем паросочетанием <tex>M_1</tex> вершины подрафа <tex>H_2</tex> и ребро <tex>yt</tex> не войдет в это паросочетание. Если остались непокрытые вершины, то покроем их ребрами из любого паросочетания <tex>M_1</tex> или <tex>M_2</tex>. Таким образом, мы получим полное паросочетание в графе <tex>{G'}</tex>, что противоречит его построению.
 +
#: [[Файл:Граф_для_теоремы_Татта.png|right|200px|thumb|К доказательству 2-ого пункта леммы.]]
 +
# Вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат в одном подграфе графа <tex>{G'} \setminus U</tex>.
 +
#: Построим граф <tex>H</tex>, такой что <tex>{V_{H}}={V}</tex> и <tex>{E_{H}}=M_1 \oplus M_2</tex><ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%E8%EC%EC%E5%F2%F0%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%F0%E0%E7%ED%EE%F1%F2%FC Симметрическая разность] </ref>. Получим, что вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат на каком-то чередующемся цикле из ребер <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. Рассмотрим подробнее, почему это будет именно так. Ребро <tex>xz</tex> принадлежит паросочетанию <tex>M_1</tex>, значит вершина <tex>y</tex> и какая-то произвольная вершина <tex>v</tex> будут покрыты ребром паросочетания <tex>M_1</tex>, при этом эти ребра не принадлежат паросочетанию <tex>M_2</tex>, но ребра <tex>yt</tex> и <tex>vu</tex>, где <tex>u</tex> {{---}} произвольная вершина, принадлежат <tex>M_2</tex> и не принадлежат <tex>M_1</tex> и так далее. Таким образом и получается чередующийся цикл в графе <tex>H</tex>. В силу симметричности <tex>x</tex> и <tex>z</tex> можно считать, что вершины расположены в порядке <tex>tzxy</tex>. Тогда существует путь <tex>P_1=t..zx..y</tex> и полное паросочетание в нем, следовательно существует и путь <tex>P_2=t..zy..x</tex>, содержащий только ребра графа <tex>{G'}</tex>. Тогда на пути <tex>x..y</tex> возьмем ребра из паросочетания <tex>M_2</tex>, а на пути <tex>t..z</tex> - ребра из паросочетания <tex>M_1</tex>. Непокрытыми остались вершины <tex>z</tex> и <tex>y</tex>, которые мы покроем ребром <tex>yz</tex>. Вершины, не принадлежащие рассматриваемому циклу, покроем ребрами любого из паросочетаний <tex>M_1, M_2</tex> (выберем ребра одного из них). Таким образом, получили полное паросочетание в графе <tex>{G'}</tex>, противоречие. 
  
* Вершины <tex>x,z</tex> и <tex>y,t</tex> лежат в разных полных подграфах графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>, обозначим их <tex>H_1</tex> и <tex>H_2</tex>, соответственно.
+
В каждом из возможных случаев получили противоречие, значит, наше начальное предположение тоже неверно и <tex>{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов, лемма доказана.
[[Файл:Граф_для_теоремы_Татта.png|right|200px|thumb|К доказательству 2-ого пункта леммы.]]
 
Покроем вершины подграфа <tex>H_1</tex> паросочетанием <tex>M_2</tex>, при этом заметим, что ребро <tex>xz</tex> не входит в это паросочетание. Аналогично покроем паросочетанием <tex>M_1</tex> вершины подрафа <tex>H_2</tex> и ребро <tex>yt</tex> не войдет в это паросочетание. Если остались непокрытые вершины, то покроем их ребрами из любого паросочетания <tex>M_1</tex> или <tex>M_2</tex>. Таким образом, мы получим полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, что противоречит его построению.
 
 
 
* Вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат в одном подграфе графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>.
 
 
 
Построим граф <tex>H</tex>, такой что <tex>\mathbb{V_\mathbb{H}}=\mathbb{V_\mathbb{G'}}=\mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> и <tex>\mathbb{E_\mathbb{H}}=M_1 \oplus M_2</tex>. Получим, что вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат на каком-то чередующемся цикле. В силу симметричности <tex>x</tex> и <tex>z</tex> можно считать, что вершины расположены в порядке <tex>tzxy</tex>. Тогда существует путь <tex>P_1=t..zx..y</tex> и полное паросочетание в нем, следовательно существует и путь <tex>P_2=t..zy..x</tex>, содержащий только ребра графа <tex>\mathbb{G'}</tex>. Тогда на пути <tex>x..y</tex> возьмем ребра из паросочетания <tex>M_2</tex>, а на пути <tex>t..z</tex> - ребра из паросочетания <tex>M_1</tex>. Непокрытыми остались вершины z и y, которые мы покроем ребром <tex>yz</tex>. Таким образом нам удалось построить  полное паросочетание на вершинах выбранного подграфа. В остальных подграфах выберем ребра любого из паросочетаний <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. Таким образом, получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, противоречие. 
 
 
 
В каждом из возможных случаев получили противоречие, значит, наше начальное предположение тоже неверно и <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов, лемма доказана.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 35: Строка 36:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=В графе <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>  
+
|statement=В графе <tex>{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <br>
 +
<tex>\forall S \subset {V}</tex> выполнено условие: <tex>\mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex> (то есть в графе <tex>{G}</tex> нет ни одного множества Татта)
 
|proof =
 
|proof =
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G}</tex> и множество вершин <tex>S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex>.
+
<tex>\Rightarrow</tex> <br>
 
+
Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>{G}</tex> и множество вершин <tex>S \subset {V}</tex>.
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> \mathbb{G} \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
 
  
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.
+
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> {G} \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>\mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
  
Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> выполнено <tex>o(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
+
<tex>\Leftarrow</tex> <br>
 +
Пусть для графа <tex>{G}</tex> выполнено, что <tex>\mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.
  
Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>o(G' \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания.
+
Рассмотрим граф <tex>{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset {V}</tex> выполнено <tex>\mathrm{odd}({G'} \setminus S) \leqslant \mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
  
Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>\mathbb{G'}</tex> четно, так как <tex>o(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.
+
Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>\mathrm{odd}({G'} \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>{G'}</tex> нет полного паросочетания.
  
Таким образом, получили в <tex>\mathbb{G'}</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально.  
+
Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>{G'}</tex> четно, так как <tex>\mathrm{odd}({G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.
  
Значит, начальное предположение не верно, и в <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание.
+
Таким образом, получили в <tex>{G'}</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально. Значит, начальное предположение не верно, и в <tex>{G}</tex> существует полное паросочетание.
 
    
 
    
 
}}
 
}}
  
==Литература==
+
==См. также==
Д.В.Карпов. Теория графов
+
* [[Матрица Татта и связь с размером максимального паросочетания в двудольном графе]]
 +
* [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]
 +
* [[Декомпозиция Эдмондса-Галлаи]]
 +
 
 +
==Примечания==
 +
<references/>
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
*[http://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/211/graphs_dk.pdf Д.В Карпов. Теория графов] (2 глава, стр. 29)
 +
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Tutte_theorem Wikipedia — Tutte theorem]
 +
 
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория:Задача о паросочетании]]

Текущая версия на 22:33, 22 ноября 2018

Определение:
[math]\mathrm{odd}({G})[/math] — число нечетных компонент связности в графе [math]{G}[/math], где нечетная компонента (англ. odd component) — это компонента связности, содержащая нечетное число вершин.


Определение:
Множество Татта графа [math]{G}[/math] — множество [math]S \subset {V_{G}}[/math], для которого выполнено условие: [math]\mathrm{odd}({G} \setminus S) \gt \left\vert S \right\vert[/math]


Критерий Татта[править]

Пусть [math]{G'}[/math] — граф, полученный из [math]{G}=\langle {V},{E} \rangle[/math] добавлением ребер, при этом в [math]{G'}[/math] нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого нового ребра.

Так как новых вершин не добавлялось, то [math]{G'}=\langle {V},{E'}\rangle [/math]

Пусть [math] U = \{ v \in {V}: \deg_{G'} (v) = n - 1 \}[/math].

Очевидно, что [math]\left\vert U \right\vert \ne n[/math], потому что [math]{G'}[/math] — не полный граф.

Лемма:
[math]{G'} \setminus U[/math] — объединение несвязных полных графов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть это не так, тогда существуют вершины [math]x,y,z \in {V} \setminus U[/math], такие что [math]xy, yz \in {E'}[/math], но [math]xz \notin {E'}[/math]. Так как [math]y \notin U[/math], то [math]\exists t \notin U: yt \notin {E'}[/math].

По построению [math]{G'}[/math] в графе [math]{G'}+xz[/math] существует полное паросочетание [math]M_1[/math]. Аналогично, в графе [math]{G'}+yt[/math] существует полное паросочетание [math]M_2[/math]. Так как в [math]{G'}[/math] нет полного паросочетания, то [math]xz \in M_1[/math] и [math]yt \in M_2[/math].

Возможны два случая:

  1. Вершины [math]x,z[/math] и [math]y,t[/math] лежат в разных полных подграфах графа [math]{G'} \setminus U[/math], обозначим их [math]H_1[/math] и [math]H_2[/math], соответственно.
    Покроем вершины подграфа [math]H_1[/math] паросочетанием [math]M_2[/math], при этом заметим, что ребро [math]xz[/math] не входит в это паросочетание. Аналогично покроем паросочетанием [math]M_1[/math] вершины подрафа [math]H_2[/math] и ребро [math]yt[/math] не войдет в это паросочетание. Если остались непокрытые вершины, то покроем их ребрами из любого паросочетания [math]M_1[/math] или [math]M_2[/math]. Таким образом, мы получим полное паросочетание в графе [math]{G'}[/math], что противоречит его построению.
    К доказательству 2-ого пункта леммы.
  2. Вершины [math]x,y,z[/math] и [math]t[/math] лежат в одном подграфе графа [math]{G'} \setminus U[/math].
    Построим граф [math]H[/math], такой что [math]{V_{H}}={V}[/math] и [math]{E_{H}}=M_1 \oplus M_2[/math][1]. Получим, что вершины [math]x,y,z[/math] и [math]t[/math] лежат на каком-то чередующемся цикле из ребер [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math]. Рассмотрим подробнее, почему это будет именно так. Ребро [math]xz[/math] принадлежит паросочетанию [math]M_1[/math], значит вершина [math]y[/math] и какая-то произвольная вершина [math]v[/math] будут покрыты ребром паросочетания [math]M_1[/math], при этом эти ребра не принадлежат паросочетанию [math]M_2[/math], но ребра [math]yt[/math] и [math]vu[/math], где [math]u[/math] — произвольная вершина, принадлежат [math]M_2[/math] и не принадлежат [math]M_1[/math] и так далее. Таким образом и получается чередующийся цикл в графе [math]H[/math]. В силу симметричности [math]x[/math] и [math]z[/math] можно считать, что вершины расположены в порядке [math]tzxy[/math]. Тогда существует путь [math]P_1=t..zx..y[/math] и полное паросочетание в нем, следовательно существует и путь [math]P_2=t..zy..x[/math], содержащий только ребра графа [math]{G'}[/math]. Тогда на пути [math]x..y[/math] возьмем ребра из паросочетания [math]M_2[/math], а на пути [math]t..z[/math] - ребра из паросочетания [math]M_1[/math]. Непокрытыми остались вершины [math]z[/math] и [math]y[/math], которые мы покроем ребром [math]yz[/math]. Вершины, не принадлежащие рассматриваемому циклу, покроем ребрами любого из паросочетаний [math]M_1, M_2[/math] (выберем ребра одного из них). Таким образом, получили полное паросочетание в графе [math]{G'}[/math], противоречие.
В каждом из возможных случаев получили противоречие, значит, наше начальное предположение тоже неверно и [math]{G'} \setminus U[/math] — объединение несвязных полных графов, лемма доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Татта[править]

Теорема:
В графе [math]{G}[/math] существует полное паросочетание [math]\Leftrightarrow[/math]
[math]\forall S \subset {V}[/math] выполнено условие: [math]\mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math] (то есть в графе [math]{G}[/math] нет ни одного множества Татта)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math]
Рассмотрим [math]M[/math] — полное паросочетание в графе [math]{G}[/math] и множество вершин [math]S \subset {V}[/math].

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа [math] {G} \setminus S[/math] соединена ребром паросочетания [math]M[/math] с какой-то вершиной из [math]S[/math]. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что [math]\mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math].

[math]\Leftarrow[/math]
Пусть для графа [math]{G}[/math] выполнено, что [math]\mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math], но полного паросочетания в этом графе не существует.

Рассмотрим граф [math]{G'}[/math] и множество вершин [math]U[/math] (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то [math]\forall S \subset {V}[/math] выполнено [math]\mathrm{odd}({G'} \setminus S) \leqslant \mathrm{odd}({G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math]. По лемме, доказанной выше: [math]{G'} \setminus U[/math] — объединение несвязных полных графов.

Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа [math]{G'} \setminus U[/math] мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества [math]U[/math]. При этом мы будем использовать различные вершины из [math]U[/math], это возможно, так как [math]\mathrm{odd}({G'} \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert[/math]. Если все вершины множества [math]U[/math] оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе [math]{G'}[/math]. Противоречие, так как по построению в [math]{G'}[/math] нет полного паросочетания.

Значит, в [math]U[/math] осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в [math]{G'}[/math] четно, так как [math]\mathrm{odd}({G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0[/math] и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество [math]U[/math] входят вершины, которые в [math]{G'}[/math] смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.

Таким образом, получили в [math]{G'}[/math] полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально. Значит, начальное предположение не верно, и в [math]{G}[/math] существует полное паросочетание.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]