Теорема Фубини — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(исправил некоторые опечатки)
(Принцип Кавальери(?))
 
(не показано 9 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
[[Мера подграфика|<<]]
+
[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
  
 
Цель этого параграфа — установить формулу:  
 
Цель этого параграфа — установить формулу:  
Строка 8: Строка 8:
  
 
Для некоторых <tex> x_1, E(x_1) </tex> может быть пусто.
 
Для некоторых <tex> x_1, E(x_1) </tex> может быть пусто.
 +
 +
== Принцип Кавальери(?) ==
  
 
Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, истоком которой является «метод неделимых» Кавальери.  
 
Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, истоком которой является «метод неделимых» Кавальери.  
 
+
<tex> S </tex> - площадь.
 +
<tex> l </tex> - длина.
 
<tex> S(E_2) = \int\limits_a^b  l(E(x_1)) d x_1 </tex> . Аналог этой формулы уже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.
 
<tex> S(E_2) = \int\limits_a^b  l(E(x_1)) d x_1 </tex> . Аналог этой формулы уже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=
+
|about = о сечениях
 +
|statement =
 
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>
 
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>
  
Строка 43: Строка 47:
 
Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.
 
Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.
  
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.
+
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви (Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.
  
 
3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).
 
3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).
Строка 59: Строка 63:
 
<tex> \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) </tex>
 
<tex> \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) </tex>
  
В том же духе {{TODO|t = УПРАЖНЕНИЕ!!!}}
+
4) <tex> E </tex> — нульмерно.
  
4) <tex> E </tex> — нульмерно.
+
Представим <tex> E </tex> как пересечение убывающих открытых множеств: <tex> E = \bigcap\limits_n G_n, G_{n + 1} \subset G_n </tex>. Для всех <tex> G_n </tex> теорема уже доказана.
 +
 
 +
Тогда <tex> E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) </tex> является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо.
 +
 
 +
Множество Лебега <tex> E(f \le a) </tex> функции <tex> f = \lambda_1 (E(x_1)) </tex> тоже будет измеримо при любом <tex> a </tex> как пересечение измеримых множеств: <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_n G_n(f \le a) </tex>.
  
<tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n </tex>
+
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости (так же, как и в 3), более того, похоже, нульмерное множество - вообще частный случай <tex> G_\delta </tex>), равенство выполняется.
  
 
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
 
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
 +
По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про <tex> E = F_\sigma \cup A </tex>), подбираем множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex> так, чтобы <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2(K \setminus E) = 0 </tex>.
 +
 +
Тогда <tex> E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) </tex>, а почти все сечения множества <tex> K \setminus E </tex>, по пункту 4, имеют меру 0.
 +
 +
Следовательно, сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>.
 +
 +
Из этого следует, что <tex> \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) </tex>, значит, она тоже измерима.
 +
 +
Наконец, <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E </tex>.
  
<tex> E = G \setminus K, E \subset G, G </tex> типа <tex> G_\delta, K </tex> — нульмерно (<tex> \lambda_2 K = 0 </tex>), что и требовалось доказать
 
 
}}
 
}}
  
Строка 78: Строка 94:
 
<tex> G(f) </tex> — измерим. Применяем теорему:
 
<tex> G(f) </tex> — измерим. Применяем теорему:
  
<tex> E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] </tex>.
+
<tex> E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] </tex> — измеримое.
  
По теореме, <tex> \lambda_1 E(x_1) </tex> — измеримо <tex> = f(x_1) </tex> — значит, <tex> f </tex> — измеримая функция.
+
По теореме, функция <tex> \lambda_1 E(x_1) </tex> измерима и равна <tex> f(x_1) </tex>. Значит, <tex> f </tex> — измеримая функция.
 
}}
 
}}
 +
 +
== Теорема Фубини ==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 96: Строка 114:
 
<tex> f = f_+ - f_- </tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0 </tex>.
 
<tex> f = f_+ - f_- </tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0 </tex>.
  
Принцип Кавальери был доказан нами(ГДЕ?) для одномерных сечений, но он легко переносится на сечения любой размерности (нам нужны двумерные).
+
<tex> f </tex> суммируема, неотрицательна, поэтому можно рассмотреть подграфик <tex> f </tex>: <tex> G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} </tex>.
 +
 
 +
Пользуясь принципом Кавальери (он был доказан нами для одномерных сечений, но легко переносится на сечения любой размерности, в нашем случае, на двумерные), получаем:
 +
 
 +
<tex> \lambda_3 G = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_2(E(x_1))dx_1 </tex>.
  
Пусть <tex> z = f(x, y) \ge 0 </tex>.
+
Для любого(или почти любого?) <tex> x_1 </tex>, можно рассмотреть подграфик измеримой(почему?) (суммируемой(почему?)) функции <tex> f_{x_1}(x_2) </tex>. Воспользуемся теоремой о мере подграфика: <tex> \lambda_2 E(x_1) = \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2)dx_2 </tex>.
  
<tex> G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} </tex>
+
Но по этой же теореме, <tex> \lambda_3 G = \int\limits_E f d\lambda_2 </tex>. Отсюда получаем требуемое равенство.
  
Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными <tex> Oyz </tex> o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).
+
(Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными <tex> Oyz </tex>. Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах).
 
}}
 
}}
  
[[Мера подграфика|<<]]
+
[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 09:07, 11 января 2012

<< >> на главную

Цель этого параграфа — установить формулу:

[math] \int\limits_{E \subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) d \lambda_2 = \int\limits_R d \lambda_1 \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_1 [/math],

где [math] E(x_1) [/math] — сечение множества [math] E [/math] вертикальной прямой, проходящей через точку [math] x_1 [/math] ([math] E(x_1) = \{ x_2 \in \mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} [/math]).

Для некоторых [math] x_1, E(x_1) [/math] может быть пусто.

Принцип Кавальери(?)[править]

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, истоком которой является «метод неделимых» Кавальери. [math] S [/math] - площадь. [math] l [/math] - длина. [math] S(E_2) = \int\limits_a^b l(E(x_1)) d x_1 [/math] . Аналог этой формулы уже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.

Теорема (о сечениях):
Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E \lt + \infty [/math]

Тогда:

  1. [math] \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) [/math] — измеримое множество.
  2. [math] \lambda_1(E(x_1)) [/math] — измеримая на [math] \mathbb R [/math] функция.
  3. [math] \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Схема доказательства — такая же, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному.

1) [math] E = [a, b] \times [c, d] [/math].

[math] E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} [/math] — измеримо.

[math] \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} [/math] — кусочно-постоянная функция на оси, суммируема.

[math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E [/math]

Вместо замкнутого прямоугольника можно было рассматривать прямоугольник любого вида, в том числе и ячейку.

2) [math] G [/math] — открытое множество, [math] \lambda G \lt + \infty [/math].

[math] G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) [/math] , по 1) [math] \Delta_n (x_1) [/math] — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо.

В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, [math] \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) [/math].

Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, [math] \lambda_1 [/math] измеримо по [math] x_1 [/math].

[math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = [/math] (т. Леви (Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) [math] \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) [/math].

3) [math] E [/math] — множество типа [math] G_\delta [/math] (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).

[math] E = \bigcap\limits_n G_n [/math] — открытое, [math] G_{n+1} \subset G_n [/math] ([math] E [/math] — измеримо).

По сигма-аддитивности, [math] \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)[/math]. [math]E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) [/math] — измеримо для любого [math] x_1 [/math].

[math] \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) [/math] — тоже измеримо(как предел измеримой функции).

По теореме Лебега о мажорируемой сходимости:

[math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1 [/math].

[math] \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) [/math]

4) [math] E [/math] — нульмерно.

Представим [math] E [/math] как пересечение убывающих открытых множеств: [math] E = \bigcap\limits_n G_n, G_{n + 1} \subset G_n [/math]. Для всех [math] G_n [/math] теорема уже доказана.

Тогда [math] E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) [/math] является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо.

Множество Лебега [math] E(f \le a) [/math] функции [math] f = \lambda_1 (E(x_1)) [/math] тоже будет измеримо при любом [math] a [/math] как пересечение измеримых множеств: [math] E(f \le a) = \bigcap\limits_n G_n(f \le a) [/math].

По теореме Лебега о мажорируемой сходимости (так же, как и в 3), более того, похоже, нульмерное множество - вообще частный случай [math] G_\delta [/math]), равенство выполняется.

5) [math] E [/math] — произвольное измеримое множество. По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про [math] E = F_\sigma \cup A [/math]), подбираем множество [math] K [/math] типа [math] G_\delta [/math] так, чтобы [math] E \subset K [/math] и [math] \lambda_2(K \setminus E) = 0 [/math].

Тогда [math] E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) [/math], а почти все сечения множества [math] K \setminus E [/math], по пункту 4, имеют меру 0.

Следовательно, сечения [math] E(x_1) [/math] измеримы и [math] \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) [/math] для почти всех [math] x_1 [/math].

Из этого следует, что [math] \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) [/math], значит, она тоже измерима.

Наконец, [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (следствие):
на [math] \mathbb R:\ y = f(x) \gt 0 [/math]. [math] G(f) [/math] — подграфик, измерим. Тогда [math] f [/math] — измерима.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] G(f) [/math] — измерим. Применяем теорему:

[math] E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] [/math] — измеримое.

По теореме, функция [math] \lambda_1 E(x_1) [/math] измерима и равна [math] f(x_1) [/math]. Значит, [math] f [/math] — измеримая функция.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фубини[править]

Теорема (Фубини):
Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R [/math] — измерима.

[math] \int\limits_E |f| d \lambda_2 \lt + \infty [/math] ([math] f [/math] — суммируема).

Тогда для почти всех [math] x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) [/math] будет суммируемой на [math] E(x_1) [/math] и [math] \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 [/math] (формула повторного интегрирования)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f = f_+ - f_- [/math], по линейности интеграла достаточно рассмотреть [math] f \ge 0 [/math].

[math] f [/math] суммируема, неотрицательна, поэтому можно рассмотреть подграфик [math] f [/math]: [math] G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} [/math].

Пользуясь принципом Кавальери (он был доказан нами для одномерных сечений, но легко переносится на сечения любой размерности, в нашем случае, на двумерные), получаем:

[math] \lambda_3 G = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_2(E(x_1))dx_1 [/math].

Для любого(или почти любого?) [math] x_1 [/math], можно рассмотреть подграфик измеримой(почему?) (суммируемой(почему?)) функции [math] f_{x_1}(x_2) [/math]. Воспользуемся теоремой о мере подграфика: [math] \lambda_2 E(x_1) = \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2)dx_2 [/math].

Но по этой же теореме, [math] \lambda_3 G = \int\limits_E f d\lambda_2 [/math]. Отсюда получаем требуемое равенство.

(Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по [math] x, y [/math] есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными [math] Oyz [/math]. Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах).
[math]\triangleleft[/math]

<< >> на главную