Редактирование: Теорема Хватала

{{Определение
|definition=
Пусть [[Основные_определения_теории_графов|неориентированный граф]] <tex> G </tex> имеет <tex> n </tex> вершин: <tex> v_1, v_2, \ldots, v_n </tex>. Пусть <tex> d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) </tex> и вершины графа упорядочены таким образом, что <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n </tex>. Последовательность <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> называют '''последовательностью степеней''' графа <tex> G </tex>.
}}

{{Лемма
|about=
О добавлении ребра в граф
|statement=
Пусть [[Основные_определения_теории_графов|неориентированный граф]] <tex> G' </tex> получен из неориентированного графа <tex> G </tex> добавлением одного нового ребра <tex> e </tex>. Тогда последовательность степеней графа <tex> G </tex> мажорируется последовательностью степеней графа <tex> G' </tex>.
|proof=
''Замечание'': Если в неубывающей последовательности <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> увеличить на единицу число <tex> d_i </tex>, а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex> d_i + 1 </tex> на положенное место, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной.
При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, \mbox{ } (u \neq v) </tex>, степени вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.
Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного, q.e.d.
}}

{{Теорема
|about=
Хватал
|statement=
Пусть:
* <tex> G </tex> — [[Отношение связности, компоненты связности|связный граф]],
* <tex> n = |VG| \geq 3 </tex> — количество вершин,
* <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n </tex> — его последовательность степеней.
Тогда если <tex> \forall k \in \mathbb N </tex> верна импликация: <br>
<center><tex> d_k \leq k < n/2 \rightarrow d_{n - k} \geq n - k, (*) </tex></center>
то граф <tex> G </tex> [[Гамильтоновы графы|гамильтонов]].
|proof=
Для доказательства теоремы, докажем 3 леммы.
{{Лемма
|about=
1
|statement=
<tex> d_k \leq k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k. </tex>
|proof=
"<tex> \Rightarrow </tex>" Пусть:
* <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k </tex>,
* <tex> d_k \leq k </tex>,
* <tex> |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k </tex>.
<tex> \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \leq k \} \Rightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k </tex>, q.e.d.

"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
* <tex> |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| = k + p </tex>,
* <tex> p \geq 0 </tex>.
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. <br>
<tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k \leq \ldots \leq d_{k + p} \leq k \Rightarrow d_k \leq k </tex>, q.e.d.
}}

{{Лемма
|about=
2
|statement=
<tex>\ d_{n - k} \geq n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| \geq k + 1. </tex>
|proof=
"<tex> \Rightarrow </tex>" Пусть:
* <tex> d_{n - k} \geq n - k </tex>,
* <tex> d_{n - k} \leq d_{n - k + 1} \leq \ldots \leq d_n </tex>, 
* <tex> |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex>.
<tex> \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \geq k + 1 </tex>, q.e.d.

"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
* <tex> |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| = k + 1 + p </tex>,
* <tex> p \geq 0 </tex>.
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.
<tex> d_n \geq d_{n - 1} \ldots \geq d_{n - k} \geq \ldots \geq d_{n - k - p} \geq n - k \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k </tex>, q.e.d.  
}}

{{Лемма
|about=
3
|statement=
Если импликация <tex> (*) </tex> верна для некоторой последовательности степеней <tex> d </tex>, то она верна и для неубывающей последовательности <tex> d' </tex>, мажорирующей <tex> d </tex>.
}}

Приведем доказательство от противного.

Пусть существует граф с числом вершин <tex> n \geq 3 </tex>, удовлетворяющий <tex> (*) </tex>, но негамильтонов.
Будем добавлять в него [[Основные определения теории графов|рёбра]] до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф <tex> G </tex> (то есть добавление еще одного ребра сделает граф <tex> G </tex> гамильтоновым). 
По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация <tex> (*) </tex> остается верной для графа <tex> G </tex>.
Очевидно, что граф <tex>\ K_n </tex> гамильтонов при <tex> k \geq 3 </tex>.
Будем считать <tex> G </tex> максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа <tex> K_n </tex>.

Выберем две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex> графа <tex> G </tex>, такие что <tex> \deg u + \deg v </tex> — максимально.
Будем считать, что <tex> \deg u \leq \deg v </tex>.
Добавив к <tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e </tex>.
Рассмотрим [[Гамильтоновы графы|гамильтонов цикл]] графа <tex> G + e </tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>.
Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову <tex> (u, v) </tex>-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v </tex>.

Пусть <tex> S = \{ i | e_i = u_1 u_{i + 1} \in EG\}, T = \{ i |f_i = u_i u_n \in EG\} </tex>.

{{Лемма
|statement=
<tex> S \cap T  = \varnothing </tex>, иначе в графе <tex> G </tex> есть гамильтонов цикл.
|proof=
Пусть <tex> j \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>:  <tex> u_1 \rightarrow^{e_j} u_{j + 1} \rightarrow u_{j + 2} \rightarrow \ldots \rightarrow u_n \rightarrow^{f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_1 </tex>, что противоречит условию, что граф негамильтонов. Значит, <tex> S \cap T </tex>, q.e.d.
}}

Из определений <tex> S </tex> и <tex> T </tex> следует, что <tex> S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex>, поэтому <tex> 2 \deg u \leq \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>, то есть <tex> \deg u < n/2 </tex>.

Так как <tex> S \cap T  = \varnothing </tex>, ни одна вершина <tex> u_j </tex> не смежна с <tex> v = u_n </tex> (для <tex> j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex> \deg u_j \leq \deg u </tex>. Положим, что <tex> k = \deg u </tex>.
Тогда имеется по крайней мере <tex> |S| = \deg u = k </tex> вершин, степень которых не превосходит k.

По лемме №1, выполняется: <tex> d_k \leq k < n/2 </tex>.

Исходя из <tex> (*) </tex>, получаем: <tex> d_{n - k} \geq n - k </tex>.

По лемме №2, имеется по крайней мере <tex> k + 1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex> n - k </tex>.

Так как <tex> k = \deg u </tex>, то вершина <tex> u </tex> может быть смежна максимум с <tex> k </tex> из этих <tex> k+1 </tex> вершин. Значит, существует вершина <tex> w </tex>, не являющаяся смежной с <tex> u </tex> и для которой <tex> \deg w \geq n - k </tex>. Тогда получим, что <tex> \deg u + \deg w \geq k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>, что противоречит выбору <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.

Значит, предположение неверно, q.e.d.
}}

==Литература==
* Асанов М., Баранский В., Расин В.: ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы''

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]