Теорема Хватала — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 17 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|неориентированный граф]] <tex> G </tex> имеет <tex> n </tex> вершин: <tex> v_1, v_2, \ldots, v_n </tex>. Пусть <tex> d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) </tex> и вершины графа упорядочены таким образом, что <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n </tex>. Последовательность <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> называют '''последовательностью степеней''' графа <tex> G </tex>.
+
Пусть [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|неориентированный граф]] <tex> G </tex> имеет <tex> n </tex> вершин: <tex> v_1, v_2, \ldots, v_n </tex>. Пусть <tex> d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) </tex> и вершины графа упорядочены таким образом, что <tex> d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n </tex>. Последовательность <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> называют '''последовательностью степеней''' графа <tex> G </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 11: Строка 11:
 
|proof=
 
|proof=
 
''Замечание'': Если в неубывающей последовательности <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> увеличить на единицу число <tex> d_i </tex>, а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex> d_i + 1 </tex> на положенное место <tex> j </tex>, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной. Если <tex>j = i</tex>, то утверждение леммы, очевидно, выполняется. Пусть <tex>j \neq i</tex>.
 
''Замечание'': Если в неубывающей последовательности <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> увеличить на единицу число <tex> d_i </tex>, а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex> d_i + 1 </tex> на положенное место <tex> j </tex>, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной. Если <tex>j = i</tex>, то утверждение леммы, очевидно, выполняется. Пусть <tex>j \neq i</tex>.
 +
[[Файл: Hvatal_1.png|270px|thumb|center|Исходная последовательность степеней <tex> d </tex>]]
 +
 
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{1, i - 1} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
 
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{1, i - 1} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{i, j - 1} </tex>. <tex> s </tex>-й элемент полученной последовательности равен <tex> s + 1 </tex>-му элементу исходной. <tex> d_s \leq d_{s + 1} \Rightarrow d_s \leq d'_s = d_{s + 1} </tex>.
+
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{i, j - 1} </tex>. <tex> s </tex>-й элемент полученной последовательности равен <tex> s + 1 </tex>-му элементу исходной. <tex> d_s \leqslant d_{s + 1} \Rightarrow d_s \leqslant d'_s = d_{s + 1} </tex>.
 
* Расмотрим <tex>j</tex>-ый элемент. Имеем <tex>d'_j \ge d'_{j-1} = d_{j} </tex>.
 
* Расмотрим <tex>j</tex>-ый элемент. Имеем <tex>d'_j \ge d'_{j-1} = d_{j} </tex>.
 
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{j + 1, n} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
 
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{j + 1, n} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
 +
[[Файл: Hvatal_2.png|290px|thumb|center|Новая последовательность степеней <tex> d' </tex>]]
 
При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, \mbox{ } (u \neq v) </tex>, степени вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.
 
При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, \mbox{ } (u \neq v) </tex>, степени вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.
Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного, q.e.d.
+
Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного.
 
}}
 
}}
  
Строка 25: Строка 28:
 
Пусть:
 
Пусть:
 
* <tex> G </tex> — [[Отношение_связности,_компоненты_связности#.D0.A1.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9_.D0.BD.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D0.B0|связный граф]],
 
* <tex> G </tex> — [[Отношение_связности,_компоненты_связности#.D0.A1.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9_.D0.BD.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D0.B0|связный граф]],
* <tex> n = |VG| \geq 3 </tex> — количество вершин,
+
* <tex> n = |VG| \geqslant 3 </tex> — количество вершин,
* <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n </tex> — его последовательность степеней.
+
* <tex> d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n </tex> — его последовательность степеней.
 
Тогда если <tex> \forall k \in \mathbb N </tex> верна импликация: <br>
 
Тогда если <tex> \forall k \in \mathbb N </tex> верна импликация: <br>
<center><tex> d_k \leq k < n/2 \rightarrow d_{n - k} \geq n - k, (*) </tex></center>
+
<center><tex> d_k \leqslant k < n/2 \Rightarrow d_{n - k} \geqslant n - k, (*) </tex></center>
 
то граф <tex> G </tex> [[Гамильтоновы_графы#.D0.9E.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|гамильтонов]].
 
то граф <tex> G </tex> [[Гамильтоновы_графы#.D0.9E.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|гамильтонов]].
 
|proof=
 
|proof=
Строка 36: Строка 39:
 
1
 
1
 
|statement=
 
|statement=
<tex> d_k \leq k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k. </tex>
+
<tex> d_k \leqslant k \Leftrightarrow |\{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \}| \geqslant k. </tex>
 
|proof=
 
|proof=
"<tex> \Rightarrow </tex>" Пусть:
+
<tex> \Rightarrow </tex> Пусть:
* <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k </tex>,
+
* <tex> d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_k </tex>,
* <tex> d_k \leq k </tex>,
+
* <tex> d_k \leqslant k </tex>,
 
* <tex> |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k </tex>.
 
* <tex> |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k </tex>.
<tex> \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \leq k \} \Rightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k </tex>, q.e.d.
+
<tex> \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \} \Rightarrow |\{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \}| \geqslant k </tex>.
  
"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
+
<tex> \Leftarrow </tex> Из условия:
* <tex> |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| = k + p </tex>,
+
* <tex> |\{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \}| = k + p </tex>,
* <tex> p \geq 0 </tex>.
+
* <tex> p \geqslant 0 </tex>.
 
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. <br>
 
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. <br>
<tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k \leq \ldots \leq d_{k + p} \leq k \Rightarrow d_k \leq k </tex>, q.e.d.
+
<tex> d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_k \leqslant \ldots \leqslant d_{k + p} \leqslant k \Rightarrow d_k \leqslant k </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 55: Строка 58:
 
2
 
2
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\ d_{n - k} \geq n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| \geq k + 1. </tex>
+
<tex>\ d_{n - k} \geqslant n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \}| \geqslant k + 1. </tex>
 
|proof=
 
|proof=
"<tex> \Rightarrow </tex>" Пусть:
+
<tex> \Rightarrow </tex> Пусть:
* <tex> d_{n - k} \geq n - k </tex>,
+
* <tex> d_{n - k} \geqslant n - k </tex>,
* <tex> d_{n - k} \leq d_{n - k + 1} \leq \ldots \leq d_n </tex>,  
+
* <tex> d_{n - k} \leqslant d_{n - k + 1} \leqslant \ldots \leqslant d_n </tex>,  
 
* <tex> |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex>.
 
* <tex> |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex>.
<tex> \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \geq k + 1 </tex>, q.e.d.
+
<tex> \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subseteq \{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \} \geqslant k + 1 </tex>.
  
"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
+
<tex> \Leftarrow </tex>:
* <tex> |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| = k + 1 + p, (p \geq 0)</tex>,
+
* <tex> |\{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \}| = k + 1 + p, (p \geqslant 0)</tex>,
 
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.
 
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.
<tex> d_n \geq d_{n - 1} \ldots \geq d_{n - k} \geq \ldots \geq d_{n - k - p} \geq n - k \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k </tex>, q.e.d.   
+
<tex> d_n \geqslant d_{n - 1} \ldots \geqslant d_{n - k} \geqslant \ldots \geqslant d_{n - k - p} \geqslant n - k \Rightarrow d_{n - k} \geqslant n - k </tex>.   
 
}}
 
}}
  
Строка 75: Строка 78:
 
Если импликация <tex> (*) </tex> верна для некоторой последовательности степеней <tex> d </tex>, то она верна и для неубывающей последовательности <tex> d' </tex>, мажорирующей <tex> d </tex>.
 
Если импликация <tex> (*) </tex> верна для некоторой последовательности степеней <tex> d </tex>, то она верна и для неубывающей последовательности <tex> d' </tex>, мажорирующей <tex> d </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
# Пусть <tex> d'_k > k </tex>. Тогда первый аргумент импликации всегда ложен, следовательно импликация верна вне зависимости от второго аргумента. Значит, в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности <tex> d' </tex>.
+
# Если <tex> d'_k > k </tex>, то первый аргумент импликации всегда ложен, следовательно импликация верна вне зависимости от второго аргумента. Значит, в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности <tex> d' </tex>.
# Пусть <tex> d'_k \leq k, \mbox{ } d'_{n - k} \geq d_{n - k} \geq n - k </tex>. Тогда оба аргумента импликации всегда истинны. Значит, и в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности <tex> d' </tex>.
+
# Если <tex> d'_k \leqslant k, \mbox{ } d'_{n - k} \geqslant d_{n - k} \geqslant n - k </tex>, то оба аргумента импликации всегда истинны. Значит, и в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности <tex> d' </tex>.
Значит, импликация <tex> (*) </tex> выполняется и для последовательности <tex> d' </tex>, q.e.d.
+
Значит, импликация <tex> (*) </tex> выполняется и для последовательности <tex> d' </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
Приведем доказательство от противного.
 
Приведем доказательство от противного.
  
Пусть существует граф с числом вершин <tex> n \geq 3 </tex>, удовлетворяющий <tex> (*) </tex>, но негамильтонов.
+
Пусть существует граф с числом вершин <tex> n \geqslant 3 </tex>, удовлетворяющий <tex> (*) </tex>, но негамильтонов.
 
Будем добавлять в него ребра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф <tex> G </tex> (то есть добавление еще одного ребра сделает граф <tex> G </tex> гамильтоновым).  
 
Будем добавлять в него ребра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф <tex> G </tex> (то есть добавление еще одного ребра сделает граф <tex> G </tex> гамильтоновым).  
 
По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация <tex> (*) </tex> остается верной для графа <tex> G </tex>.
 
По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация <tex> (*) </tex> остается верной для графа <tex> G </tex>.
Очевидно, что граф <tex>\ K_n </tex> гамильтонов при <tex> k \geq 3 </tex>.
+
Очевидно, что граф <tex>\ K_n </tex> гамильтонов при <tex> k \geqslant 3 </tex>.
 
Будем считать <tex> G </tex> максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа <tex> K_n </tex>.
 
Будем считать <tex> G </tex> максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа <tex> K_n </tex>.
  
 
Выберем две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex> графа <tex> G </tex>, такие что <tex> \deg u + \deg v </tex> — максимально.
 
Выберем две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex> графа <tex> G </tex>, такие что <tex> \deg u + \deg v </tex> — максимально.
Будем считать, что <tex> \deg u \leq \deg v </tex>.
+
Будем считать, что <tex> \deg u \leqslant \deg v </tex>.
 
Добавив к <tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e </tex>.
 
Добавив к <tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e </tex>.
 
Рассмотрим гамильтонов цикл графа <tex> G + e </tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>.
 
Рассмотрим гамильтонов цикл графа <tex> G + e </tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>.
 
Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову <tex> (u, v) </tex>-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v </tex>.
 
Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову <tex> (u, v) </tex>-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v </tex>.
  
Пусть <tex> S = \{ i | e_i = u_1 u_{i + 1} \in EG\}, T = \{ i |f_i = u_i u_n \in EG\} </tex>.
+
Пусть <tex> S = \{ i \mid e_i = u_1 u_{i + 1} \in EG\}, T = \{ i \mid f_i = u_i u_n \in EG\} </tex>.
 +
[[Файл: Hvatal_3.png|330px|thumb|center|Множество <tex> S </tex> обозначено красным цветом, множество <tex> T </tex> обозначено синим цветом]]
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 100: Строка 104:
 
<tex> S \cap T  = \emptyset </tex>.
 
<tex> S \cap T  = \emptyset </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex> j \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>:  <tex> u_1 \rightarrow^{e_j} u_{j + 1} \rightarrow u_{j + 2} \rightarrow \ldots \rightarrow u_n \rightarrow^{f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_1 </tex>, что противоречит условию, что граф негамильтонов. Значит, <tex> S \cap T </tex>, q.e.d.
+
Предположим, что <tex> j \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>:  <tex> u_1 \xrightarrow{e_j} u_{j + 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_n \xrightarrow{f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_1 </tex>, что противоречит условию, что граф негамильтонов.
 +
[[Файл: Hvatal_4.png|270px|thumb|center|]]
 +
Значит, <tex> S \cap T </tex>.
 
}}
 
}}
  
Из определений <tex> S </tex> и <tex> T </tex> следует, что <tex> S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} \Rightarrow 2 \deg u \leq \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>. Значит, <tex> \deg u < n/2 </tex>.
+
Из определений <tex> S </tex> и <tex> T </tex> следует, что <tex> S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} \Rightarrow 2 \deg u \leqslant \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>. Значит, <tex> \deg u < n/2 </tex>.
  
Так как <tex> S \cap T  = \emptyset </tex>, ни одна вершина <tex> u_j </tex> не смежна с <tex> v = u_n </tex> (для <tex> j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex> \deg u_j \leq \deg u </tex>. Пусть <tex> k = \deg u = |S| </tex>. Значит, <tex> \exists k </tex> вершин, степень которых не превосходит <tex> k </tex>.
+
Так как <tex> S \cap T  = \emptyset </tex>, ни одна вершина <tex> u_j </tex> не смежна с <tex> v = u_n </tex> (для <tex> j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex> \deg u_j \leqslant \deg u </tex>. Пусть <tex> k = \deg u = |S| </tex>. Значит, <tex> \exists k </tex> вершин, степень которых не превосходит <tex> k </tex>.
  
По лемме №1: <tex> d_k \leq k < n/2 </tex>. В силу импликации <tex> (*) </tex>: <tex> d_{n - k} \geq n - k </tex>.
+
По лемме №1: <tex> d_k \leqslant k < n/2 </tex>. В силу импликации <tex> (*) </tex>: <tex> d_{n - k} \geqslant  n - k </tex>.
  
 
По лемме №2, <tex> \exists k + 1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex> n - k </tex>.
 
По лемме №2, <tex> \exists k + 1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex> n - k </tex>.
  
Так как <tex> k = \deg u </tex>, то вершина <tex> u </tex> может быть смежна максимум с <tex> k </tex> из этих <tex> k+1 </tex> вершин. Значит, существует вершина <tex> w </tex>, не являющаяся смежной с <tex> u </tex> и для которой <tex> \deg w \geq n - k </tex>. Тогда получим, что <tex> \deg u + \deg w \geq k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>, что противоречит выбору <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
+
Так как <tex> k = \deg u </tex>, то вершина <tex> u </tex> может быть смежна максимум с <tex> k </tex> из этих <tex> k+1 </tex> вершин. Значит, существует вершина <tex> w </tex>, не являющаяся смежной с <tex> u </tex> и для которой <tex> \deg w \geqslant n - k </tex>. Тогда получим, что <tex> \deg u + \deg w \geqslant k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>, что противоречит выбору <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
  
Значит, предположение неверно, q.e.d.
+
Значит, предположение неверно.
 
}}
 
}}
  
Строка 121: Строка 127:
 
* [[Теорема Оре]]
 
* [[Теорема Оре]]
  
== Литература ==
+
== Источники информации ==
 
* Асанов М., Баранский В., Расин В.: ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы''
 
* Асанов М., Баранский В., Расин В.: ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы''
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 +
[[Категория: Гамильтоновы графы]]

Текущая версия на 19:33, 15 января 2016

Определение:
Пусть неориентированный граф [math] G [/math] имеет [math] n [/math] вершин: [math] v_1, v_2, \ldots, v_n [/math]. Пусть [math] d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) [/math] и вершины графа упорядочены таким образом, что [math] d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n [/math]. Последовательность [math] d_1, d_2, \ldots, d_n [/math] называют последовательностью степеней графа [math] G [/math].


Лемма (О добавлении ребра в граф):
Пусть неориентированный граф [math] G' [/math] получен из неориентированного графа [math] G [/math] добавлением одного нового ребра [math] e [/math]. Тогда последовательность степеней графа [math] G [/math] мажорируется последовательностью степеней графа [math] G' [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Замечание: Если в неубывающей последовательности [math] d_1, d_2, \ldots, d_n [/math] увеличить на единицу число [math] d_i [/math], а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число [math] d_i + 1 [/math] на положенное место [math] j [/math], то исходная последовательность будет мажорироваться полученной. Если [math]j = i[/math], то утверждение леммы, очевидно, выполняется. Пусть [math]j \neq i[/math].

Исходная последовательность степеней [math] d [/math]
  • Рассмотрим элементы с номерами [math] s = \overline{1, i - 1} [/math]. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
  • Рассмотрим элементы с номерами [math] s = \overline{i, j - 1} [/math]. [math] s [/math]-й элемент полученной последовательности равен [math] s + 1 [/math]-му элементу исходной. [math] d_s \leqslant d_{s + 1} \Rightarrow d_s \leqslant d'_s = d_{s + 1} [/math].
  • Расмотрим [math]j[/math]-ый элемент. Имеем [math]d'_j \ge d'_{j-1} = d_{j} [/math].
  • Рассмотрим элементы с номерами [math] s = \overline{j + 1, n} [/math]. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
Новая последовательность степеней [math] d' [/math]

При добавлении в граф ребра [math] e = uv, \mbox{ } (u \neq v) [/math], степени вершин [math] u [/math] и [math] v [/math] увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.

Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Хватал):
Пусть:
  • [math] G [/math]связный граф,
  • [math] n = |VG| \geqslant 3 [/math] — количество вершин,
  • [math] d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n [/math] — его последовательность степеней.

Тогда если [math] \forall k \in \mathbb N [/math] верна импликация:

[math] d_k \leqslant k \lt n/2 \Rightarrow d_{n - k} \geqslant n - k, (*) [/math]
то граф [math] G [/math] гамильтонов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства теоремы, докажем 3 леммы.

Лемма (1):
[math] d_k \leqslant k \Leftrightarrow |\{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \}| \geqslant k. [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Rightarrow [/math] Пусть:

  • [math] d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_k [/math],
  • [math] d_k \leqslant k [/math],
  • [math] |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k [/math].

[math] \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \} \Rightarrow |\{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \}| \geqslant k [/math].

[math] \Leftarrow [/math] Из условия:

  • [math] |\{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \}| = k + p [/math],
  • [math] p \geqslant 0 [/math].

Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.

[math] d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_k \leqslant \ldots \leqslant d_{k + p} \leqslant k \Rightarrow d_k \leqslant k [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
[math]\ d_{n - k} \geqslant n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \}| \geqslant k + 1. [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Rightarrow [/math] Пусть:

  • [math] d_{n - k} \geqslant n - k [/math],
  • [math] d_{n - k} \leqslant d_{n - k + 1} \leqslant \ldots \leqslant d_n [/math],
  • [math] |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 [/math].

[math] \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subseteq \{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \} \geqslant k + 1 [/math].

[math] \Leftarrow [/math]:

  • [math] |\{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \}| = k + 1 + p, (p \geqslant 0)[/math],

Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.

[math] d_n \geqslant d_{n - 1} \ldots \geqslant d_{n - k} \geqslant \ldots \geqslant d_{n - k - p} \geqslant n - k \Rightarrow d_{n - k} \geqslant n - k [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (3):
Если импликация [math] (*) [/math] верна для некоторой последовательности степеней [math] d [/math], то она верна и для неубывающей последовательности [math] d' [/math], мажорирующей [math] d [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Если [math] d'_k \gt k [/math], то первый аргумент импликации всегда ложен, следовательно импликация верна вне зависимости от второго аргумента. Значит, в этом случае импликация [math] (*) [/math] верна для последовательности [math] d' [/math].
  2. Если [math] d'_k \leqslant k, \mbox{ } d'_{n - k} \geqslant d_{n - k} \geqslant n - k [/math], то оба аргумента импликации всегда истинны. Значит, и в этом случае импликация [math] (*) [/math] верна для последовательности [math] d' [/math].
Значит, импликация [math] (*) [/math] выполняется и для последовательности [math] d' [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Приведем доказательство от противного.

Пусть существует граф с числом вершин [math] n \geqslant 3 [/math], удовлетворяющий [math] (*) [/math], но негамильтонов. Будем добавлять в него ребра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф [math] G [/math] (то есть добавление еще одного ребра сделает граф [math] G [/math] гамильтоновым). По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация [math] (*) [/math] остается верной для графа [math] G [/math]. Очевидно, что граф [math]\ K_n [/math] гамильтонов при [math] k \geqslant 3 [/math]. Будем считать [math] G [/math] максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа [math] K_n [/math].

Выберем две несмежные вершины [math] u [/math] и [math] v [/math] графа [math] G [/math], такие что [math] \deg u + \deg v [/math] — максимально. Будем считать, что [math] \deg u \leqslant \deg v [/math]. Добавив к [math] G [/math] новое ребро [math] e = uv [/math], получим гамильтонов граф [math] G + e [/math]. Рассмотрим гамильтонов цикл графа [math] G + e [/math]: в нём обязательно присутствует ребро [math] e [/math]. Отбрасывая ребро [math] e [/math], получим гамильтонову [math] (u, v) [/math]-цепь в графе [math] G [/math]: [math] u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v [/math].

Пусть [math] S = \{ i \mid e_i = u_1 u_{i + 1} \in EG\}, T = \{ i \mid f_i = u_i u_n \in EG\} [/math].

Множество [math] S [/math] обозначено красным цветом, множество [math] T [/math] обозначено синим цветом
Утверждение:
[math] S \cap T = \emptyset [/math].
[math]\triangleright[/math]

Предположим, что [math] j \in S \cap T [/math]. Тогда получим гамильтонов цикл графа [math] G [/math]: [math] u_1 \xrightarrow{e_j} u_{j + 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_n \xrightarrow{f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_1 [/math], что противоречит условию, что граф негамильтонов.

Hvatal 4.png
Значит, [math] S \cap T [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Из определений [math] S [/math] и [math] T [/math] следует, что [math] S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} \Rightarrow 2 \deg u \leqslant \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| \lt n [/math]. Значит, [math] \deg u \lt n/2 [/math].

Так как [math] S \cap T = \emptyset [/math], ни одна вершина [math] u_j [/math] не смежна с [math] v = u_n [/math] (для [math] j \in S [/math]). В силу выбора [math] u [/math] и [math] v [/math], получим, что [math] \deg u_j \leqslant \deg u [/math]. Пусть [math] k = \deg u = |S| [/math]. Значит, [math] \exists k [/math] вершин, степень которых не превосходит [math] k [/math].

По лемме №1: [math] d_k \leqslant k \lt n/2 [/math]. В силу импликации [math] (*) [/math]: [math] d_{n - k} \geqslant n - k [/math].

По лемме №2, [math] \exists k + 1 [/math] вершин, степень которых не меньше [math] n - k [/math].

Так как [math] k = \deg u [/math], то вершина [math] u [/math] может быть смежна максимум с [math] k [/math] из этих [math] k+1 [/math] вершин. Значит, существует вершина [math] w [/math], не являющаяся смежной с [math] u [/math] и для которой [math] \deg w \geqslant n - k [/math]. Тогда получим, что [math] \deg u + \deg w \geqslant k + (n - k) = n \gt \deg u + \deg v [/math], что противоречит выбору [math] u [/math] и [math] v [/math].

Значит, предположение неверно.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы