Теорема Хватала — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 12: Строка 12:
 
''Замечание'': Если в неубывающей последовательности <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> увеличить на единицу число <tex> d_i </tex>, а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex> d_i + 1 </tex> на положенное место, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной.
 
''Замечание'': Если в неубывающей последовательности <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> увеличить на единицу число <tex> d_i </tex>, а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex> d_i + 1 </tex> на положенное место, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной.
 
При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, \mbox{ } (u \neq v) </tex>, степени вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.
 
При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, \mbox{ } (u \neq v) </tex>, степени вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.
 +
Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного, q.e.d.
 
}}
 
}}
  
Строка 37: Строка 38:
 
* <tex> d_k \leq k </tex>,
 
* <tex> d_k \leq k </tex>,
 
* <tex> |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k </tex>.
 
* <tex> |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k </tex>.
<tex> \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subset \{ v \in VG | d_v \leq k \} \Rightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k </tex>, q.e.d.
+
<tex> \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \leq k \} \Rightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k </tex>, q.e.d.
  
 
"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
 
"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
Строка 56: Строка 57:
 
* <tex> d_{n - k} \leq d_{n - k + 1} \leq \ldots \leq d_n </tex>,  
 
* <tex> d_{n - k} \leq d_{n - k + 1} \leq \ldots \leq d_n </tex>,  
 
* <tex> |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex>.
 
* <tex> |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex>.
<tex> \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subset \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \geq k + 1 </tex>, q.e.d.
+
<tex> \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \geq k + 1 </tex>, q.e.d.
  
 
"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
 
"<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть:
Строка 84: Строка 85:
 
Добавив к <tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e </tex>.
 
Добавив к <tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e </tex>.
 
Рассмотрим [[Гамильтоновы графы|гамильтонов цикл]] графа <tex> G + e </tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>.
 
Рассмотрим [[Гамильтоновы графы|гамильтонов цикл]] графа <tex> G + e </tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>.
Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову (<tex> u, v </tex>)-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 - u_2 - ... - u_n = v </tex>. <br>
+
Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову <tex> (u, v) </tex>-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v </tex>.
Пусть <tex>\ S = \{i|e_i = u_1 u_{i+1} \in E(G)\} </tex>. <br>
+
 
Пусть <tex>\ T = \{i|f_i = u_i u_n \in E(G)\} </tex>. <br>
+
Пусть <tex> S = \{ i | e_i = u_1 u_{i + 1} \in EG\}, T = \{ i |f_i = u_i u_n \in EG\} </tex>.
<tex>\ S \cap T  = \varnothing </tex>, иначе в графе <tex> G </tex> есть гамильтонов цикл: пусть z <tex> \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>:  <tex>\ u_1 - u_{z+1} - u_{z+2} - ... - u_n - u_z - u_{z-1} - ... - u_1 </tex>.
+
 
Из определений <tex>\ S </tex> и <tex>\ T </tex> следует, что <tex>\ S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex>, поэтому <tex> 2\deg u \le \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>, то есть <tex>\deg u < n/2 </tex>. <br>
+
Докажем, что <tex> S \cap T  = \varnothing </tex>, иначе в графе <tex> G </tex> есть гамильтонов цикл.
Так как <tex>\ S \cap T  = \varnothing </tex>, ни одна вершина <tex>\ u_j </tex> не смежна с <tex>\ v = u_n </tex> (для <tex>\ j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex>\deg u_j \le \deg u </tex>. Положим, что <tex>\ k = \deg u </tex>.
+
: Пусть <tex> j \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>:  <tex> u_1 \rightarrow^{e_j} u_{j + 1} \rightarrow u_{j + 2} \rightarrow \ldots \rightarrow u_n \rightarrow^{f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_1 </tex>.
Тогда имеется по крайней мере <tex>\ |S| = \deg u = k </tex> вершин, степень которых не превосходит k. <br>
+
 
В силу первой леммы, выполняется: <tex>\ d_k \le k < n/2 </tex>. <br>
+
Из определений <tex> S </tex> и <tex> T </tex> следует, что <tex> S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex>, поэтому <tex> 2 \deg u \leq \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>, то есть <tex> \deg u < n/2 </tex>.
Исходя из <tex>\ (*) </tex>, получаем: <tex>\ d_{n-k} \ge n-k </tex>. <br>
+
 
В силу второй леммы, имеется по крайней мере <tex>\ k+1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex>\ n-k </tex>. <br>
+
Так как <tex> S \cap T  = \varnothing </tex>, ни одна вершина <tex> u_j </tex> не смежна с <tex> v = u_n </tex> (для <tex> j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex> \deg u_j \leq \deg u </tex>. Положим, что <tex> k = \deg u </tex>.
Так как <tex>\ k = \deg u </tex>, то вершина <tex>\ u </tex> может быть смежна максимум с <tex>\ k </tex> из этих <tex>\ k+1 </tex> вершин. Значит, существует вершина <tex>\ w </tex>, не являющаяся смежной с <tex>\ u </tex> и для которой <tex>\deg w \ge n-k </tex>. Тогда получим, что <tex>\deg u + \deg w \ge k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>, но это противоречит выбору <tex>\ u </tex> и <tex>\ v </tex>. <br>
+
Тогда имеется по крайней мере <tex> |S| = \deg u = k </tex> вершин, степень которых не превосходит k.
 +
 
 +
По лемме №1, выполняется: <tex> d_k \leq k < n/2 </tex>.
 +
 
 +
Исходя из <tex> (*) </tex>, получаем: <tex> d_{n - k} \geq n - k </tex>.
 +
 
 +
По второй лемме, имеется по крайней мере <tex> k + 1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex> n - k </tex>.
 +
 
 +
Так как <tex> k = \deg u </tex>, то вершина <tex> u </tex> может быть смежна максимум с <tex> k </tex> из этих <tex> k+1 </tex> вершин. Значит, существует вершина <tex> w </tex>, не являющаяся смежной с <tex> u </tex> и для которой <tex> \deg w \geq n - k </tex>. Тогда получим, что <tex> \deg u + \deg w \geq k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>, что противоречит выбору <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
 +
 
 +
Значит, предположение неверно, q.e.d.
 
}}
 
}}
  

Версия 06:14, 20 ноября 2011

Определение:
Пусть неориентированный граф [math] G [/math] имеет [math] n [/math] вершин: [math] v_1, v_2, \ldots, v_n [/math]. Пусть [math] d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) [/math] и вершины графа упорядочены таким образом, что [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n [/math]. Последовательность [math] d_1, d_2, \ldots, d_n [/math] называют последовательностью степеней графа [math] G [/math].


Лемма (О добавлении ребра в граф):
Пусть неориентированный граф [math] G' [/math] получен из неориентированного графа [math] G [/math] добавлением одного нового ребра [math] e [/math]. Тогда последовательность степеней графа [math] G [/math] мажорируется последовательностью степеней графа [math] G' [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Замечание: Если в неубывающей последовательности [math] d_1, d_2, \ldots, d_n [/math] увеличить на единицу число [math] d_i [/math], а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число [math] d_i + 1 [/math] на положенное место, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной. При добавлении в граф ребра [math] e = uv, \mbox{ } (u \neq v) [/math], степени вершин [math] u [/math] и [math] v [/math] увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.

Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Хватал):
Пусть:
  • [math] G [/math]связный граф,
  • [math] n = |VG| \geq 3 [/math] — количество вершин,
  • [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n [/math] — его последовательность степеней.

Тогда если [math] \forall k \in \mathbb N [/math] верна импликация:

[math] d_k \leq k \lt n/2 \rightarrow d_{n - k} \geq n - k, (*) [/math]
то граф [math] G [/math] гамильтонов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства теоремы, докажем 3 леммы.

Лемма (1):
[math] d_k \leq k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k. [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

"[math] \Rightarrow [/math]" Пусть:

  • [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k [/math],
  • [math] d_k \leq k [/math],
  • [math] |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k [/math].

[math] \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \leq k \} \Rightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k [/math], q.e.d.

"[math] \Leftarrow [/math]" Пусть:

  • [math] |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| = k + p [/math],
  • [math] p \geq 0 [/math].

Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.

[math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k \leq \ldots \leq d_{k + p} \leq k \Rightarrow d_k \leq k [/math], q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
[math]\ d_{n - k} \geq n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| \geq k + 1. [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

"[math] \Rightarrow [/math]" Пусть:

  • [math] d_{n - k} \geq n - k [/math],
  • [math] d_{n - k} \leq d_{n - k + 1} \leq \ldots \leq d_n [/math],
  • [math] |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 [/math].

[math] \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \geq k + 1 [/math], q.e.d.

"[math] \Leftarrow [/math]" Пусть:

  • [math] |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| = k + 1 + p [/math],
  • [math] p \geq 0 [/math].

Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.

[math] d_n \geq d_{n - 1} \ldots \geq d_{n - k} \geq \ldots \geq d_{n - k - p} \geq n - k \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k [/math], q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (3):
Если импликация [math] (*) [/math] верна для некоторой последовательности степеней [math] d [/math], то она верна и для неубывающей последовательности [math] d' [/math], мажорирующей [math] d [/math].

Приведем доказательство от противного.

Пусть существует граф с числом вершин [math] n \geq 3 [/math], удовлетворяющий [math] (*) [/math], но негамильтонов. Будем добавлять в него рёбра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф [math] G [/math] (то есть добавление еще одного ребра сделает граф [math] G [/math] гамильтоновым). По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация [math] (*) [/math] остается верной для графа [math] G [/math]. Очевидно, что граф [math]\ K_n [/math] гамильтонов при [math] k \geq 3 [/math]. Будем считать [math] G [/math] максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа [math] K_n [/math].

Выберем две несмежные вершины [math] u [/math] и [math] v [/math] графа [math] G [/math], такие что [math] \deg u + \deg v [/math] — максимально. Будем считать, что [math] \deg u \leq \deg v [/math]. Добавив к [math] G [/math] новое ребро [math] e = uv [/math], получим гамильтонов граф [math] G + e [/math]. Рассмотрим гамильтонов цикл графа [math] G + e [/math]: в нём обязательно присутствует ребро [math] e [/math]. Отбрасывая ребро [math] e [/math], получим гамильтонову [math] (u, v) [/math]-цепь в графе [math] G [/math]: [math] u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v [/math].

Пусть [math] S = \{ i | e_i = u_1 u_{i + 1} \in EG\}, T = \{ i |f_i = u_i u_n \in EG\} [/math].

Докажем, что [math] S \cap T = \varnothing [/math], иначе в графе [math] G [/math] есть гамильтонов цикл.

Пусть [math] j \in S \cap T [/math]. Тогда получим гамильтонов цикл графа [math] G [/math]: [math] u_1 \rightarrow^{e_j} u_{j + 1} \rightarrow u_{j + 2} \rightarrow \ldots \rightarrow u_n \rightarrow^{f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_1 [/math].

Из определений [math] S [/math] и [math] T [/math] следует, что [math] S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} [/math], поэтому [math] 2 \deg u \leq \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| \lt n [/math], то есть [math] \deg u \lt n/2 [/math].

Так как [math] S \cap T = \varnothing [/math], ни одна вершина [math] u_j [/math] не смежна с [math] v = u_n [/math] (для [math] j \in S [/math]). В силу выбора [math] u [/math] и [math] v [/math], получим, что [math] \deg u_j \leq \deg u [/math]. Положим, что [math] k = \deg u [/math]. Тогда имеется по крайней мере [math] |S| = \deg u = k [/math] вершин, степень которых не превосходит k.

По лемме №1, выполняется: [math] d_k \leq k \lt n/2 [/math].

Исходя из [math] (*) [/math], получаем: [math] d_{n - k} \geq n - k [/math].

По второй лемме, имеется по крайней мере [math] k + 1 [/math] вершин, степень которых не меньше [math] n - k [/math].

Так как [math] k = \deg u [/math], то вершина [math] u [/math] может быть смежна максимум с [math] k [/math] из этих [math] k+1 [/math] вершин. Значит, существует вершина [math] w [/math], не являющаяся смежной с [math] u [/math] и для которой [math] \deg w \geq n - k [/math]. Тогда получим, что [math] \deg u + \deg w \geq k + (n - k) = n \gt \deg u + \deg v [/math], что противоречит выбору [math] u [/math] и [math] v [/math].

Значит, предположение неверно, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы