Теорема Шамира — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
Строка 22: Строка 22:
  
 
Пусть дана формула <tex>Q_1 \ldots Q_m \phi(x_1, \ldots ,x_m)</tex>. В процессе [[Арифметизация булевых формул с кванторами|арифметизации]] она перейдет в <tex>R_1 \ldots R_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)</tex>. Воспользуемся протоколом, описанным в [[Лемма о соотношении coNP и IP|доказательстве принадлежности #SAT к классу IP]]. Для этого необходимо, чтобы степень полиномов <tex>A_i(x_{i+1})</tex> была полиномиальной относительно длины входа. Преобразуем выражение с помощью оператора линеаризации к виду <tex>R_1 L_1 \ldots R_i L_1 L_2 \ldots L_i \ldots R_m L_1 L_2 \ldots L_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)</tex>. Размер новой формулы не превосходит квадрата исходной, степень полиномов не превосходит двух. Тогда, используя условия, описанные в [[Арифметизация булевых формул с кванторами|леммах 2 и 3]], для проверки ответов, присылаемых ''Prover'' 'ом, можно построить искомый протокол. Значит <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}</tex>, следовательно <tex>\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}</tex>.
 
Пусть дана формула <tex>Q_1 \ldots Q_m \phi(x_1, \ldots ,x_m)</tex>. В процессе [[Арифметизация булевых формул с кванторами|арифметизации]] она перейдет в <tex>R_1 \ldots R_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)</tex>. Воспользуемся протоколом, описанным в [[Лемма о соотношении coNP и IP|доказательстве принадлежности #SAT к классу IP]]. Для этого необходимо, чтобы степень полиномов <tex>A_i(x_{i+1})</tex> была полиномиальной относительно длины входа. Преобразуем выражение с помощью оператора линеаризации к виду <tex>R_1 L_1 \ldots R_i L_1 L_2 \ldots L_i \ldots R_m L_1 L_2 \ldots L_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)</tex>. Размер новой формулы не превосходит квадрата исходной, степень полиномов не превосходит двух. Тогда, используя условия, описанные в [[Арифметизация булевых формул с кванторами|леммах 2 и 3]], для проверки ответов, присылаемых ''Prover'' 'ом, можно построить искомый протокол. Значит <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}</tex>, следовательно <tex>\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}</tex>.
}},
+
}}

Текущая версия на 21:04, 4 июня 2012

Теорема (Шамир):
[math]\mathrm{IP} = \mathrm{PS}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • [math]\mathrm{IP} \subset \mathrm{PS}[/math]

Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{IP}[/math]. Пусть [math]V[/math]Verifier, соответствующий [math]L[/math], [math]p(n)[/math] — время его работы, [math]f(n)[/math] — количество его запросов к Prover 'у. Напишем программу, распознающую язык [math]L[/math] на полиномиальной памяти.

[math]U(x)[/math]
    [math]n \leftarrow |x|[/math]
    for [math]P \leftarrow Prover[f(n), p(n)][/math]    //(1)
        [math]count \leftarrow 0[/math]
        for [math]r \in \{0, 1\}^{p(n)}[/math]    //(2)
            if [math]V(x, r)\bigm{|}_{P} = 1[/math]
                [math]count[/math]++
        if [math]\frac{count}{2^{p(n)}} \ge \frac{2}{3}[/math]
            return 1
    return 0

В цикле [math](1)[/math] перебираются все Prover 'ы, которые отвечают на [math]f(n)[/math] запросов, каждый ответ имеет размер [math]p(n)[/math]. В цикле [math](2)[/math] перебираются все вероятностные ленты размера [math]p(n)[/math]. Так как [math]V[/math] — корректен, то если нашелся Prover, при котором [math]V[/math] допускает слово с вероятностью, большей [math]\frac{2}{3}[/math], то данное слово принадлежит [math]L[/math], иначе — не принадлежит. Очевидно, что данная программа требует полином дополнительной памяти. Значит [math]L \in \mathrm{PS}[/math], следовательно [math]\mathrm{IP} \subset \mathrm{PS}[/math].

  • [math]\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}[/math]

Докажем, что [math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}[/math]. Так как [math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC}[/math], то из этого будет следовать, что [math]\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}[/math].

Пусть дана формула [math]Q_1 \ldots Q_m \phi(x_1, \ldots ,x_m)[/math]. В процессе арифметизации она перейдет в [math]R_1 \ldots R_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)[/math]. Воспользуемся протоколом, описанным в доказательстве принадлежности #SAT к классу IP. Для этого необходимо, чтобы степень полиномов [math]A_i(x_{i+1})[/math] была полиномиальной относительно длины входа. Преобразуем выражение с помощью оператора линеаризации к виду [math]R_1 L_1 \ldots R_i L_1 L_2 \ldots L_i \ldots R_m L_1 L_2 \ldots L_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)[/math]. Размер новой формулы не превосходит квадрата исходной, степень полиномов не превосходит двух. Тогда, используя условия, описанные в леммах 2 и 3, для проверки ответов, присылаемых Prover 'ом, можно построить искомый протокол. Значит [math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}[/math], следовательно [math]\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}[/math].
[math]\triangleleft[/math]