Теорема о базах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 4: Строка 4:
 
|statement= Пусть <tex>B_1</tex> и <tex>B_2</tex> — базы матроида <tex>M</tex>. Тогда <tex>|B_1| = |B_2|</tex>.   
 
|statement= Пусть <tex>B_1</tex> и <tex>B_2</tex> — базы матроида <tex>M</tex>. Тогда <tex>|B_1| = |B_2|</tex>.   
 
|proof=
 
|proof=
Докажем от противного.Пусть <tex>|B_1| > |B_2|</tex>. Тогда по третьей аксиоме из [[Определение матроида|определения матроида]] <tex>\exists x \in B_1 \setminus B_2</tex> такой, что <tex>B_2 \cup {x} \in I</tex>. То есть <tex>B_2</tex> — не максимальное по включению независимое множество, что противоречит определению базы.
+
Доказательство от противного. Пусть <tex>|B_1| > |B_2|</tex>. Тогда по третьей аксиоме из [[Определение матроида|определения матроида]] <tex>\exists x \in B_1 \setminus B_2</tex> такой, что <tex>B_2 \cup {x} \in I</tex>. То есть <tex>B_2</tex> — не максимальное по включению независимое множество, что противоречит определению базы.
 +
Случай <tex>|B_2| > |B_1|</tex> разбирается аналогично.
 
}}
 
}}

Версия 06:48, 8 мая 2011

Теорема (о базах):
Пусть [math]B_1[/math] и [math]B_2[/math] — базы матроида [math]M[/math]. Тогда [math]|B_1| = |B_2|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство от противного. Пусть [math]|B_1| \gt |B_2|[/math]. Тогда по третьей аксиоме из определения матроида [math]\exists x \in B_1 \setminus B_2[/math] такой, что [math]B_2 \cup {x} \in I[/math]. То есть [math]B_2[/math] — не максимальное по включению независимое множество, что противоречит определению базы.

Случай [math]|B_2| \gt |B_1|[/math] разбирается аналогично.
[math]\triangleleft[/math]