Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 12: Строка 12:
 
Любому алгоритму сортировки сравнениями можно сопоставить [[Дерево поиска, наивная реализация|дерево]]. В нем узлам соответствуют операции сравнения элементов, ребрам {{---}} переходы между состояниями алгоритма, а листьям {{---}} конечные перестановки элементов (соответствующие завершению алгоритма сортировки). Необходимо доказать, что высота такого дерева для любого алгоритма сортировки сравнениями не меньше чем <tex>\Omega(n \log n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов.
 
Любому алгоритму сортировки сравнениями можно сопоставить [[Дерево поиска, наивная реализация|дерево]]. В нем узлам соответствуют операции сравнения элементов, ребрам {{---}} переходы между состояниями алгоритма, а листьям {{---}} конечные перестановки элементов (соответствующие завершению алгоритма сортировки). Необходимо доказать, что высота такого дерева для любого алгоритма сортировки сравнениями не меньше чем <tex>\Omega(n \log n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов.
  
Ограничимся рассмотрением сортировки перестановок <tex>n</tex> элементов. При сравнении некоторых двух из них, существует два возможных исхода (<tex>a_i < a_j</tex> и <tex>a_i > a_j</tex>), значит, каждый узел дерева имеет не более двух сыновей. Всего существует <tex>n!</tex> различных перестановок <tex>n</tex> элементов, значит, число листьев нашего дерева не менее <tex>n!</tex> (в противном случае некоторые перестановки были бы не достижимы из корня, а, значит, алгоритм не правильно работал бы на некоторых исходных данных).
+
Ограничимся рассмотрением сортировки перестановок <tex>n</tex> элементов. При сравнении некоторых двух из них, существует два возможных исхода (<tex>a_i \leqslant a_j</tex> и <tex>a_i > a_j</tex>), значит, каждый узел дерева имеет не более двух сыновей. Всего существует <tex>n!</tex> различных перестановок <tex>n</tex> элементов, значит, число листьев нашего дерева не менее <tex>n!</tex> (в противном случае некоторые перестановки были бы не достижимы из корня, а, значит, алгоритм не правильно работал бы на некоторых исходных данных).
  
  
  
Докажем, что двоичное дерево с не менее чем <tex>n!</tex> листьями имеет глубину <tex>\Omega(n \log n)</tex>. Легко показать, что двоичное дерево высоты <tex>h</tex> имеет не более чем <tex>2^h</tex> листьев. Значит, имеем неравенство <tex>n! \leqslant l \leqslant 2^h</tex>, где <tex>l</tex> {{---}} количество листьев. Прологарифмировав его, получим:
+
Докажем, что двоичное дерево с не менее чем <tex>n!</tex> листьями имеет глубину <tex>\Omega(n \log n)</tex>. Легко показать, что двоичное дерево высоты <tex>h</tex> имеет не более чем <tex>2^h</tex> листьев. Значит, имеем неравенство <tex>n! \leqslant l \leqslant 2^h</tex>, где <tex>l</tex> {{---}} число листьев. Прологарифмировав его, получим:
  
 
<tex> h \geqslant \log_2 n! = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n ></tex> <tex> \dfrac{n}{2} \log_2 \left(\dfrac{n}{2}\right) = \dfrac{n}{2}(\log_2 n - 1) = \Omega (n \log n)</tex>
 
<tex> h \geqslant \log_2 n! = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n ></tex> <tex> \dfrac{n}{2} \log_2 \left(\dfrac{n}{2}\right) = \dfrac{n}{2}(\log_2 n - 1) = \Omega (n \log n)</tex>

Версия 03:20, 17 июня 2016

Сортировка сравнениями (англ. Comparison sort) — алгоритм сортировки, который совершает операции сравнения элементов, но никак не использует их внутреннюю структуру.

Теорема (о нижней оценке для сортировки сравнениями):
В худшем случае любой алгоритм сортировки сравнениями выполняет [math]\Omega(n \log n)[/math] сравнений, где [math]n[/math] — число сортируемых элементов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пример дерева для алгоритма сортировки трех элементов.
Внутренний узел, помеченный как [math] i:j [/math], указывает сравнение между [math] a_{i} [/math] и [math] a_{j} [/math]. Лист, помеченный перестановкой [math] \left \langle \pi(1), \pi(2), \ldots , \pi(n) \right \rangle [/math], указывает упорядочение [math] a_{\pi(1)} \leqslant a_{\pi(2)} \leqslant \ldots \leqslant a_{\pi(n)} [/math].

Любому алгоритму сортировки сравнениями можно сопоставить дерево. В нем узлам соответствуют операции сравнения элементов, ребрам — переходы между состояниями алгоритма, а листьям — конечные перестановки элементов (соответствующие завершению алгоритма сортировки). Необходимо доказать, что высота такого дерева для любого алгоритма сортировки сравнениями не меньше чем [math]\Omega(n \log n)[/math], где [math]n[/math] — количество элементов.

Ограничимся рассмотрением сортировки перестановок [math]n[/math] элементов. При сравнении некоторых двух из них, существует два возможных исхода ([math]a_i \leqslant a_j[/math] и [math]a_i \gt a_j[/math]), значит, каждый узел дерева имеет не более двух сыновей. Всего существует [math]n![/math] различных перестановок [math]n[/math] элементов, значит, число листьев нашего дерева не менее [math]n![/math] (в противном случае некоторые перестановки были бы не достижимы из корня, а, значит, алгоритм не правильно работал бы на некоторых исходных данных).


Докажем, что двоичное дерево с не менее чем [math]n![/math] листьями имеет глубину [math]\Omega(n \log n)[/math]. Легко показать, что двоичное дерево высоты [math]h[/math] имеет не более чем [math]2^h[/math] листьев. Значит, имеем неравенство [math]n! \leqslant l \leqslant 2^h[/math], где [math]l[/math] — число листьев. Прологарифмировав его, получим:

[math] h \geqslant \log_2 n! = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n \gt [/math] [math] \dfrac{n}{2} \log_2 \left(\dfrac{n}{2}\right) = \dfrac{n}{2}(\log_2 n - 1) = \Omega (n \log n)[/math]

Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями, существует такая перестановка, на которой он выполнит [math]\Omega(n \log n)[/math] сравнений.
[math]\triangleleft[/math]

Следствия

Утверждение:
Пирамидальная сортировка и сортировка слиянием являются асимптотически оптимальными сортировками сравнением.
[math]\triangleright[/math]
Верхние границы [math] O(n \log n) [/math] времени работы пирамидальной сортировки и сортировки слиянием совпадают с нижней границей [math]\Omega(n \log n)[/math] для наихудшего случая из теоремы о нижней границе для сортировки сравнениями.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Не существует структуры данных, которая одновременно поддерживает добавление элементов и извлечение минимума за амортизированное время [math] O(1) [/math].
[math]\triangleright[/math]
Если бы такая структура существовала, то с ещё помощью можно было бы отсортировать все элементы за амортизированное время [math]O(n)[/math] — добавить все элементы, а затем извлечь минимальный [math]n[/math] раз. Можно заметить, что теореме даётся оценка на истинную нижнюю границу, а в данном утверждении фигурирует амортизированное время. Но этот факт не является проблемой, так как амортизированное время [math] O(1) [/math] на одну операцию в случае [math] n [/math] операций даст суммарное истинное время [math] O(n) [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации