Редактирование: Теорема о рекурсии

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
==Теорема о рекурсии==  
+
==Теорема о рекурсии==
  
Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1
 
|id=th1
|author=Клини
+
|about=О рекурсии
|about=о рекурсии / ''Kleene's recursion theorem''
+
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} вычислимая функция. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
 
 
|proof=
 
|proof=
 
Приведем конструктивное доказательство теоремы.
 
Приведем конструктивное доказательство теоремы.
 +
Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>getSrc()</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
  
Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>:
+
<code><font size = "3em">
  '''program int''' p('''int''' x):
+
  p(y){
  ...
+
      V(x,y) {...}
 
   
 
   
  '''int''' main():
+
      main() {
    ...
+
          return V(getSrc(), y)
 +
      }
 
    
 
    
  ...
+
      string getSrc() {...}
Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.
+
  }
 
+
</font></code>
Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
+
Теперь нужно определить функцию <tex>getSrc()</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>getOtherSrc()</tex>, состоящую из одного оператора <tex>return</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.  
'''program string''' p('''string''' y):
+
<code><font size = "3em">  
    '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
+
  p(y){
      ...
+
      V(x,y) {...}
 
   
 
   
    '''string''' main():
+
      main() {
      '''return''' V(getSrc(), y)
+
          return V(getSrc(), y)
+
      }
    '''string''' getSrc():
+
 
      ...
+
      string getSrc() {
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.
+
          string src = getOtherSrc();
 +
          return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
 +
      }
 +
 
 +
      string getOtherSrc() {...}  
 +
  }
 +
</font></code>
  
'''program string''' p('''string''' y):
+
Теперь <tex>getOtherSrc()</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>
    '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
+
<code><font size = "3em">
      ...
+
  p(y){
 +
      V(x,y) {...}
 
   
 
   
    '''string''' main():
+
      main() {
      '''return''' V(getSrc(), y)
+
          return V(getSrc(), y)
 +
      }
 +
 
 +
      string getSrc() {
 +
          string src = getOtherSrc();
 +
          return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
 +
      }
 +
 
 +
      string getOtherSrc() {
 +
          return "  p(y){            // Возвращаем весь предыдущий код
 +
                    V(x,y) {...}
 
   
 
   
    '''string''' getSrc():
+
                      main() {
      '''string''' src = getOtherSrc()
+
                          return V(getSrc(), y)
      '''return''' ```$src                   <font color="green">// символ $ перед названием переменной  используется для подстановки значения этой переменной в строку</font>
+
                      }
                <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():  <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font>
+
 
                <nowiki>|</nowiki>   return $src```
+
                      string getSrc() {
+
                          string src = getOtherSrc();
    '''string''' getOtherSrc():
+
                          return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
    ...
+
                  }";
 +
      }
 +
  }
 +
</font></code>
  
Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:
 
<code>
 
'''program string''' p('''string''' y):
 
    '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
 
      ...
 
 
    '''string''' main():
 
      '''return''' V(getSrc(), y)
 
 
    '''string''' getSrc():
 
      '''string''' src = getOtherSrc()
 
      '''return''' ```$src
 
                <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():
 
                <nowiki>|</nowiki>    return $src```
 
 
    '''string''' getOtherSrc():
 
      '''return''' ```function  p(int y):     
 
                <nowiki>|</nowiki>  int V(string x, int y):
 
                <nowiki>|</nowiki>    ...
 
                <nowiki>|</nowiki>
 
                <nowiki>|</nowiki>  int main():
 
                <nowiki>|</nowiki>    return V(getSrc(), y)
 
                <nowiki>|</nowiki>
 
                <nowiki>|</nowiki>  string getSrc():
 
                <nowiki>|</nowiki>    string src = getOtherSrc()
 
                <nowiki>|</nowiki>    return \```$src
 
                <nowiki>|</nowiki>              <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():
 
                <nowiki>|</nowiki>              <nowiki>|</nowiki>  return \$src\```
 
</code>
 
 
}}
 
}}
+
Если говорить неформально, теорема о рекурсии утверждает, что внутри программы можно использовать ее код. Это упрощает доказательство некоторых теорем.
Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
 
  
 
Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
 
Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
  
==Теорема о неподвижной точке==
 
Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
 
{{Определение
 
|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
 
}}
 
{{Лемма
 
|statement= Для всякой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g</tex>, являющаяся ее <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением.
 
|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex> V(n, x) = U(f(n), x)</tex>. Так как <tex>V</tex> — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>s(n)</tex> такая, что: <tex>V(n, x) = U(s(n), x)</tex>.
 
 
Покажем, что <tex>s(n)</tex> будет являться <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(n)</tex>. Если <tex>f(n)</tex> определено, то <tex>s(n)</tex> вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex>f(n)</tex> не определено, то <tex>s(n)</tex> вернет номер нигде не определенной функции.
 
Таким образом, мы нашли <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>f</tex>.
 
}}
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th2
 
|id=th2
|author=Роджерс
+
|about=о рекурсии
|about=о неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''
+
|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]], <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>.
|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> — номера одной функции.
 
 
|proof=
 
|proof=
Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.
+
Начнём с доказательства леммы.
 
+
{{Лемма
Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции.)
+
|statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности <tex>\equiv</tex>. Тогда следующие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: <br>
 
+
# Пусть <tex>f</tex> {{---}} вычислимая функция. Тогда существует всюду определённое вычислимое <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>, то есть такая <tex>g</tex>, что <tex>D(g)=N</tex> и <tex>\forall x</tex> такого, что <tex>f(x) \ne \perp</tex>, выполнено <tex>f(x) \equiv g(x)</tex>.
Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.
+
# Найдётся такая всюду определенная вычислимая <tex>h</tex>, что <tex>\forall n </tex> выполнено <tex>h(n) \not\equiv n</tex>.
 +
|proof=
 +
Приведем доказательство от противного. Пусть оба утверждения выполнены. <br>
 +
Определим функцию <tex>f</tex> так: <tex>f(x)=U(x,x)</tex>. Заметим, что никакая всюду вычислимая функция не отличается от <tex>f</tex> всюду. <br> Согласно первому утверждению найдётся всюду определённое вычислимое <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>. <br> Определим функцию <tex>t</tex> так: <tex>t(x)=h(g(x))</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} функция из второго утверждения. <br >Если <tex>f(x) \ne \perp</tex>, то <tex>f(x)=g(x) \ne h(g(x))=t(x)</tex>, то есть <tex>f(x) \ne t(x)</tex>. Если <tex>f(x)= \perp</tex>, то <tex>f(x) \ne t(x)</tex>, так как <tex>t</tex> всюду определена. Значит, <tex>f</tex> всюду отлична от <tex>t</tex>, получили противоречие.
 
}}
 
}}
 
+
Теперь определим отношение <tex>\equiv</tex> так: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex>. Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы. <br> Для заданной <tex>f</tex> определим <tex>V(n,x) = U(f(n), x)</tex>. <br> Так как <tex>U</tex> {{---}} универсальная функция, то найдётся такая всюду определенная вычислимая функция <tex>s</tex>, что <tex>V(n,x) = U(s(n), x)</tex>. <br> Тогда  <tex>\forall x </tex> и <tex> n </tex> будет выполнено <tex>U(f(n), x) = U(s(n), x)</tex>. Значит, <tex>\forall n </tex> <tex> s(n) \equiv f(n)</tex>, то есть <tex>s</tex> {{---}} всюду определенное <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>f</tex>.
 
+
Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного <tex>h</tex> <tex> \exists n</tex> такое, что <tex>U_{h(n)} = U_n</tex>.
{{Утверждение
 
|id=идентификатор (необязательно), пример: proposalF.  
 
|statement = <tex> \exists n : W_n = \{n\} </tex>, где <tex> W_n </tex> {{---}} множество слов, допускаемых программой с номером <tex> n </tex>.
 
|proof=
 
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.
 
Напишем такую программу:
 
<code>
 
  <tex>p(q){:}</tex>
 
    '''if''' <tex>p. \mathrm{getSrc()}</tex> == <tex>q. \mathrm{getSrc()}</tex>
 
      '''return''' 1
 
    '''else'''
 
      '''while''' ''true''
 
</code>
 
Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.
 
 
}}
 
}}
  
==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве о неразрешимости языка==
+
==Пример использования==
Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex>.
+
Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p|p(\epsilon)=\perp\}</tex>.
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|id=st2
 
|id=st2
|statement= Язык <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.  
+
|statement= Язык <tex>L=\{p|p(\epsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.  
 
|proof=
 
|proof=
 
Предположим обратное, тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая <tex>L</tex>.
 
Предположим обратное, тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая <tex>L</tex>.
 
Рассмотрим следущую программу:
 
Рассмотрим следущую программу:
 
<code>
 
<code>
  <tex>p(x){:}</tex>
+
  p(x)
   '''if''' r(getSrc())
+
   if r(p)
       '''return''' 1
+
       return 1
   '''while''' ''true''
+
   while true
 
</code>
 
</code>
 
Пусть <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Противоречие.
 
Пусть <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilon)=\perp</tex>. Противоречие.
 
}}
 
}}
  
==См. также==
+
==Источники==
*[[Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии]]
 
 
 
==Источники информации==
 
* [[wikipedia:Kleene's_recursion_theorem | Wikipedia {{---}} Kleene's recursion theorem]]
 
 
* ''Верещагин Н. К., Шень А.'' '''Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции''' — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
 
* ''Верещагин Н. К., Шень А.'' '''Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции''' — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
* ''Kleene, Stephen'' '''On notation for ordinal numbers''' - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155
 
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
 
[[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)