Редактирование: Теорема о рекурсии

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
==Теорема о рекурсии==  
+
==Теорема о рекурсии==
 
+
Давайте рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов - <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1
 
|id=th1
 
|author=Клини
 
|author=Клини
 
|about=о рекурсии / ''Kleene's recursion theorem''
 
|about=о рекурсии / ''Kleene's recursion theorem''
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
+
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Приведем конструктивное доказательство теоремы.
 
Приведем конструктивное доказательство теоремы.
 
+
Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>:
+
  '''function''' p('''T''' y):  
'''program int''' p('''int''' x):
+
     '''T''' V('''T''' x, '''T''' y):
  ...
 
 
  '''int''' main():
 
    ...
 
 
 
  ...
 
Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.
 
 
 
Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
 
  '''program string''' p('''string''' y):  
 
     '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
 
 
       ...
 
       ...
 
   
 
   
     '''string''' main():
+
     '''void''' main():
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
   
 
   
 
     '''string''' getSrc():
 
     '''string''' getSrc():
 
       ...
 
       ...
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.
+
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>return</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.  
 
+
  '''function''' p('''T''' y):
  '''program string''' p('''string''' y):  
+
     '''T''' V('''T''' x, '''T''' y):
     '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
 
 
       ...
 
       ...
 
   
 
   
     '''string''' main():
+
     '''void''' main():
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
   
 
   
 
     '''string''' getSrc():
 
     '''string''' getSrc():
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
       '''return''' ```$src                   <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font>
+
       '''return''' src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n";
                <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():   <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font>
+
Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>
                <nowiki>|</nowiki>    return $src```
+
  '''function''' p('''T''' y):
+
     '''T''' V('''T''' x, '''T''' y):
    '''string''' getOtherSrc():
 
    ...
 
 
 
Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:
 
<code>
 
  '''program string''' p('''string''' y):  
 
     '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
 
 
       ...
 
       ...
 
   
 
   
     '''string''' main():
+
     '''void''' main():
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
   
 
   
 
     '''string''' getSrc():
 
     '''string''' getSrc():
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
       '''return''' ```$src  
+
       '''return''' src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n";
                <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():  
 
                <nowiki>|</nowiki>    return $src```
 
 
   
 
   
 
     '''string''' getOtherSrc():
 
     '''string''' getOtherSrc():
       '''return''' ```function  p(int y):       
+
       '''return''' "function  p('''T''' y):       
                <nowiki>|</nowiki>  int V(string x, int y):
+
                            V('''T''' x, '''T''' y):
                <nowiki>|</nowiki>    ...
+
                              ...
                <nowiki>|</nowiki>
+
                <nowiki>|</nowiki>  int main():
+
                            main():
                <nowiki>|</nowiki>    return V(getSrc(), y)
+
                              return V(getSrc(), y)
                <nowiki>|</nowiki>
+
 
                <nowiki>|</nowiki>  string getSrc():
+
                            string getSrc():
                <nowiki>|</nowiki>    string src = getOtherSrc()
+
                              string src = getOtherSrc();
                <nowiki>|</nowiki>    return \```$src  
+
                              return src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n;";
                <nowiki>|</nowiki>              <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():  
+
}
                <nowiki>|</nowiki>              <nowiki>|</nowiki>  return \$src\```
 
</code>
 
 
}}
 
}}
+
Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую x в качестве исходного кода и выполняющую действие над y, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
 
  
Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
+
Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
  
 
==Теорема о неподвижной точке==
 
==Теорема о неподвижной точке==
 
Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
 
Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
+
|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 99: Строка 74:
 
|author=Роджерс
 
|author=Роджерс
 
|about=о неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''
 
|about=о неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''
|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> номера одной функции.
+
|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> - номера одной функции.
 
|proof=
 
|proof=
 
Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.  
 
Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.  
Строка 105: Строка 80:
 
Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции.)
 
Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции.)
  
Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.
+
Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> - искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.
 
}}
 
}}
  
Строка 115: Строка 90:
 
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.  
 
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.  
 
Напишем такую программу:
 
Напишем такую программу:
 
+
<code>
   <tex>p(q){:}</tex>
+
   p(q):
     '''if''' <tex>p.\mathrm{getSrc()}</tex> == <tex>q.\mathrm{getSrc()}</tex>
+
     '''if''' p.getSrc() == q.getSrc()
 
       '''return''' 1
 
       '''return''' 1
 
     '''else'''
 
     '''else'''
 
       '''while''' ''true''
 
       '''while''' ''true''
 
+
</code>
 
Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.
 
Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.
}}
 
 
==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве неразрешимости языка==
 
Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex>.
 
{{Лемма
 
|id=st2
 
|statement= Язык <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.
 
|proof=
 
Предположим обратное. Тогда существует программа <tex>r</tex>, разрешающая <tex>L</tex>.
 
Рассмотрим следующую программу:
 
 
  p(x):
 
    '''if''' r(getSrc())
 
      '''return''' 1
 
    '''while''' ''true''
 
 
Пусть <tex>p(\varepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\varepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\varepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\varepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 152: Строка 110:
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)