Теорема о рекурсии — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема о рекурсии)
м (Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве о неразрешимости языка)
(не показана 21 промежуточная версия 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Теорема о рекурсии==  
 
==Теорема о рекурсии==  
 +
 
Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
 
Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 7: Строка 8:
 
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
 
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''function''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>:
+
Приведем конструктивное доказательство теоремы.
  '''function''' p('''int''' x):
+
 
 +
Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>:
 +
  '''program int''' p('''int''' x):
 
   ...
 
   ...
 
   
 
   
Строка 15: Строка 18:
 
    
 
    
 
   ...
 
   ...
Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> - это вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.
+
Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.
  
Приведем конструктивное доказательство теоремы.
+
Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
+
  '''program string''' p('''string''' y):  
  '''function''' p('''int''' y):  
+
     '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
     '''int''' V('''string''' x, '''int''' y):
 
 
       ...
 
       ...
 
   
 
   
     '''int''' main():
+
     '''string''' main():
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
   
 
   
 
     '''string''' getSrc():
 
     '''string''' getSrc():
 
       ...
 
       ...
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.  
+
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.
  '''function''' p('''int''' y):  
+
 
     '''int''' V('''string''' x, '''int''' y):
+
  '''program string''' p('''string''' y):  
 +
     '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
 
       ...
 
       ...
 
   
 
   
     '''int''' main():
+
     '''string''' main():
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
   
 
   
 
     '''string''' getSrc():
 
     '''string''' getSrc():
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
       '''return''' "\(src) string getOtherSrc():\n return src\n"
+
       '''return''' ```$src                    <font color="green">// символ $ перед названием переменной  используется для подстановки значения этой переменной в строку</font>
 +
                <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():   <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font>
 +
                <nowiki>|</nowiki>    return $src```
 
   
 
   
 
     '''string''' getOtherSrc():
 
     '''string''' getOtherSrc():
 
     ...
 
     ...
 +
 
Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:
 
Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:
  '''function''' p('''int''' y):  
+
<code>
     '''int''' V('''string''' x, '''int''' y):
+
  '''program string''' p('''string''' y):  
 +
     '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
 
       ...
 
       ...
 
   
 
   
     '''int''' main():
+
     '''string''' main():
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
       '''return''' V(getSrc(), y)
 
   
 
   
 
     '''string''' getSrc():
 
     '''string''' getSrc():
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
 
       '''string''' src = getOtherSrc()
       '''return''' "\(src) string getOtherSrc():\n return src\n"
+
       '''return''' ```$src  
 +
                <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():  
 +
                <nowiki>|</nowiki>    return $src```
 
   
 
   
 
     '''string''' getOtherSrc():
 
     '''string''' getOtherSrc():
       '''return''' "function  p('''T''' y):       
+
       '''return''' ```function  p(int y):       
                            V('''T''' x, '''T''' y):
+
                <nowiki>|</nowiki>  int V(string x, int y):
                              ...
+
                <nowiki>|</nowiki>    ...
 +
                <nowiki>|</nowiki>
 +
                <nowiki>|</nowiki>  int main():
 +
                <nowiki>|</nowiki>    return V(getSrc(), y)
 +
                <nowiki>|</nowiki>
 +
                <nowiki>|</nowiki>  string getSrc():
 +
                <nowiki>|</nowiki>    string src = getOtherSrc()
 +
                <nowiki>|</nowiki>    return \```$src
 +
                <nowiki>|</nowiki>              <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():
 +
                <nowiki>|</nowiki>              <nowiki>|</nowiki>  return \$src\```
 +
</code>
 +
}}
 
   
 
   
                            main():
 
                              return V(getSrc(), y)
 
 
 
                            string getSrc():
 
                              string src = getOtherSrc()
 
                              return src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n"
 
<tex>\triangleleft</tex>
 
 
 
Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
 
Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
  
Строка 74: Строка 86:
 
Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
 
Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
+
|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 123: Строка 135:
 
<code>
 
<code>
 
  <tex>p(x){:}</tex>
 
  <tex>p(x){:}</tex>
   '''if''' <tex>r(\mathrm{getSrc()})</tex>
+
   '''if''' r(getSrc())
 
       '''return''' 1
 
       '''return''' 1
 
   '''while''' ''true''
 
   '''while''' ''true''

Версия 04:35, 26 апреля 2019

Теорема о рекурсии

Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — [math]V(x, y)[/math]. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей [math]p(y) = V(p, y)[/math], которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.

Теорема (Клини, о рекурсии / Kleene's recursion theorem):
Пусть [math]V(n, x)[/math]вычислимая функция. Тогда найдётся такая вычислимая [math]p[/math], что [math]\forall y:[/math] [math]p(y) = V(p, y)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем конструктивное доказательство теоремы.

Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока program располагаются функции, среди которых есть функция [math]\mathrm{main}[/math]:

program int p(int x):
  ...

  int main():
    ...
 
 ...

Тогда вызов [math]\mathrm{p(x)}[/math] — вызов функции [math]\mathrm{main}[/math] от соответствующего аргумента.

Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип string. Пусть есть вычислимая [math]V(x,y)[/math]. Будем поэтапно строить функцию [math]p(y)[/math].
Предположим, что у нас в распоряжении есть функция [math]\mathrm{getSrc()}[/math], которая вернет код [math]p(y)[/math]. Тогда саму [math]p(y)[/math] можно переписать так:

program string p(string y): 
   string V(string x, string y):
      ...

   string main():
      return V(getSrc(), y)

   string getSrc():
      ...

Теперь нужно определить функцию [math]\mathrm{getSrc()}[/math]. Предположим, что внутри [math]p(y)[/math] мы можем определить функцию [math]\mathrm{getOtherSrc()}[/math], состоящую из одного оператора [math]\mathrm{return}[/math], которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда [math]p(y)[/math] перепишется так.

program string p(string y): 
   string V(string x, string y):
      ...

   string main():
      return V(getSrc(), y)

   string getSrc():
      string src = getOtherSrc()
      return ```$src                    // символ $ перед названием переменной  используется для подстановки значения этой переменной в строку
               |string getOtherSrc():   // многострочные строки заключаются в ``` и используют | в качестве разделителя
               |    return $src```

   string getOtherSrc():
    ...

Теперь [math]\mathrm{getOtherSrc()}[/math] определяется очевидным образом, и мы получаем итоговую версию функции [math]p(y)[/math]:

program string p(string y): 
   string V(string x, string y):
      ...

   string main():
      return V(getSrc(), y)

   string getSrc():
      string src = getOtherSrc()
      return ```$src 
               |string getOtherSrc(): 
               |    return $src```

   string getOtherSrc():
      return ```function  p(int y):       
               |  int V(string x, int y):
               |    ...
               |
               |  int main():
               |    return V(getSrc(), y)
               |
               |  string getSrc():
               |    string src = getOtherSrc()
               |    return \```$src 
               |              |string getOtherSrc(): 
               |              |   return \$src\```
[math]\triangleleft[/math]

Иначе говоря, если рассмотреть [math]V(x, y)[/math], как программу, использующую [math]x[/math] в качестве исходного кода и выполняющую действие над [math]y[/math], то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу [math]p(y) = V(p, y)[/math], которая будет использовать собственный исходный код.

Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.

Теорема о неподвижной точке

Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: [math]x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y[/math] и докажем вспомогательную лемму.

Определение:
Функция [math]g[/math] называется [math]\equiv[/math] — продолжением ([math]\equiv[/math] — continuation) функции [math]f[/math], если для всех таких [math]x[/math], что [math]f(x)[/math] определено, [math]g(x) \equiv f(x)[/math].
Лемма:
Для всякой вычислимой функции [math]f[/math] существует вычислимая и всюду определенная функция [math]g[/math], являющаяся ее [math]\equiv[/math] — продолжением.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов [math] V(n, x) = U(f(n), x)[/math]. Так как [math]V[/math] — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция [math]s(n)[/math] такая, что: [math]V(n, x) = U(s(n), x)[/math].

Покажем, что [math]s(n)[/math] будет являться [math]\equiv[/math] — продолжением функции [math]f(n)[/math]. Если [math]f(n)[/math] определено, то [math]s(n)[/math] вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же [math]f(n)[/math] не определено, то [math]s(n)[/math] вернет номер нигде не определенной функции.

Таким образом, мы нашли [math]\equiv[/math] — продолжение для произвольно взятой вычислимой функции [math]f[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Роджерс, о неподвижной точке / Rogers' fixed-point theorem):
Пусть [math]U[/math]универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента, [math]h[/math] — всюду определённая вычислимая функция одного аргумента. Тогда найдется такое [math]n[/math], что [math]U_n=U_{h(n)}[/math], то есть [math]n[/math] и [math]h(n)[/math] — номера одной функции.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция [math]h[/math], такая, что [math]U_n \neq U_{h(n)}[/math] для любого [math]n[/math]. В терминах введенного нами отношения, это значит, что [math]h[/math] не имеет [math]\equiv[/math] — неподвижных точек.

Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например [math]f(x) = U(x, x)[/math] (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция [math]g(n)[/math], всюду отличная от [math]f(n) = U(n, n)[/math], то нарушается определение универсальной функции.)

Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция [math]g(x)[/math], являющаяся [math]\equiv[/math] — продолжением функции [math]f(x)[/math]. Давайте зададим функцию [math]t(x)[/math] следующим образом: [math]t(x) = h(g(x))[/math], где [math]h(x)[/math] — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая [math]\equiv[/math] — неподвижных точек. Тогда [math]t(x)[/math] всюду отличается от [math]f(x)[/math] (в силу того, что [math]h(x)[/math] не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции [math]h[/math] не существует.
[math]\triangleleft[/math]


Утверждение:
[math] \exists n : W_n = \{n\} [/math], где [math] W_n [/math] — множество слов, допускаемых программой с номером [math] n [/math].
[math]\triangleright[/math]

По теореме о рекурсии, программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию [math] \mathrm{getSrc()} [/math], которая вернёт строку — исходный код программы. Напишем такую программу:

 [math]p(q){:}[/math]
   if [math]p. \mathrm{getSrc()}[/math] == [math]q. \mathrm{getSrc()}[/math]
     return 1
   else
     while true

Программа [math] p [/math] знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число — свой номер.
[math]\triangleleft[/math]

Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве о неразрешимости языка

Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка [math]L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}[/math].

Лемма:
Язык [math]L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}[/math] неразрешим.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим обратное, тогда существует программа [math]r[/math] разрещающая [math]L[/math]. Рассмотрим следущую программу:

[math]p(x){:}[/math]
  if r(getSrc())
     return 1
  while true

Пусть [math]p(\epsilon)=\perp[/math]. Тогда условие [math]r(p)[/math] выполняется и [math]p(\epsilon)=1[/math]. Противоречие. Если [math]p(\epsilon) \ne \perp[/math], то [math]r(p)[/math] не выполняется и [math]p(\epsilon)=\perp[/math]. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Wikipedia — Kleene's recursion theorem
  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
  • Kleene, Stephen On notation for ordinal numbers - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155