Редактирование: Теорема о существовании порога для монотонных свойств

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 19: Строка 19:
 
|definition =
 
|definition =
 
Функция $p_0(n)$ называется '''пороговой''' для монотонного свойства $\mathcal{A}$ (англ. ''threshold''), если для любой функции вероятности $p(n)$ выполнено:
 
Функция $p_0(n)$ называется '''пороговой''' для монотонного свойства $\mathcal{A}$ (англ. ''threshold''), если для любой функции вероятности $p(n)$ выполнено:
* $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$
+
* $P(G(n,p)\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$
* $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$
+
* $P(G(n,p)\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$
 
}}
 
}}
 
Мы уже знакомы с некоторыми [[Случайные графы | пороговыми функциями]].
 
Мы уже знакомы с некоторыми [[Случайные графы | пороговыми функциями]].
Строка 39: Строка 39:
 
|proof=
 
|proof=
 
Сначала найдем эту пороговую функцию. Зафиксируем $n$.
 
Сначала найдем эту пороговую функцию. Зафиксируем $n$.
* Заметим, что функция $f(p)=P(G(n,p)\in\mathcal{A})$ непрерывна. На самом деле это многочлен, у которого степень оценивается как количество ребер в полном графе.
+
* Заметим, что функция $f(p)=P(G(n,p)\in\mathcal{A})$ непрерывна. На самом деле это многочлен, у которого степень оценивается как количество ребер в полном графе. Вероятность получить конкретный граф равна $p^\alpha\cdot(1-p)^\beta$, где $\alpha$ и $\beta${{---}} количество присутствующих и отсутствующих ребер соответственно ($\alpha+\beta=C_n^2$). Чтобы получить $f(p)$, нужно просуммировать такие многочлены по всем графам из $\mathcal{A}$.
:* Вероятность получить конкретный граф равна $p^\alpha\cdot(1-p)^\beta$, где $\alpha$ и $\beta${{---}} количество присутствующих и отсутствующих ребер соответственно ($\alpha+\beta=C_n^2$).
 
:* Чтобы получить $f(p)$, нужно просуммировать такие многочлены по всем графам из $\mathcal{A}$.
 
 
* $f(0)=0$, $f(1)=1$, так как свойство нетривиальное и монотонное (то есть пустой граф точно не удовлетворяет ему, тогда как полный должен удовлетворять).
 
* $f(0)=0$, $f(1)=1$, так как свойство нетривиальное и монотонное (то есть пустой граф точно не удовлетворяет ему, тогда как полный должен удовлетворять).
 
* По теореме Больцано-Коши найдется такое $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$.
 
* По теореме Больцано-Коши найдется такое $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$.
 
* Мы по $n$ научились находить такую вероятность $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$. Теперь проделаем это для каждого $n\in\mathbb{N}$ и получим функцию $p_0(n)$. Она окажется пороговой для свойства $\mathcal{A}$.
 
* Мы по $n$ научились находить такую вероятность $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$. Теперь проделаем это для каждого $n\in\mathbb{N}$ и получим функцию $p_0(n)$. Она окажется пороговой для свойства $\mathcal{A}$.
  
<br>
 
 
Докажем это.
 
Докажем это.
  
Пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$. Докажем, что $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$.
+
Пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$.
  
<br>
+
'''вот тут идёт стена текста, проструктурируй чуть лучше по строкам и абзацам'''
Докажем, что неравенство $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})>P(G(n,1-(1-p_0(n))^m)\in\mathcal{A})$ верно при достаточно больших $n$.
 
* Для этого по лемме о монотонности вероятности достаточно установить: $p(n)>1-(1-p_0(n))^m$.
 
:* $p(n)>m p_0(n)$. Неравенство верно с некоторого момента, так как $p\gg p_0$ по предположению.
 
:* $m p_0(n)\geqslant 1-(1-p_0(n))^m$. Это неравенство Бернулли. Оно верно при $(-p_0(n))>-1$ и $m\notin[0,1]$. Первое ограничение соблюдено, далее выберем $m$ с учетом второго ограничения.
 
  
<br>
+
Выберем $m$ графов из $G(n,p_0)$ $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$.
Выберем графы $G_1,\ldots,G_m\in G(n,p_0(n))$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$.
+
В нем фиксированного ребра не будет тогда, когда ни в одном из $G_i$ нет ребра, то есть $P(\text{в }H\text{ нет ребра})=1-(1-p_0)^m$, то есть $H\in G(n,1-(1-p_0)^m)$.
 +
* $P(G(n,p)\in\mathcal{A})>P(G(n,1-(1-p_0)^m)\in\mathcal{A})$. Для этого сравним $p$ и $1-(1-p_0)^m$: $p>m p_0\geqslant 1-(1-p_0)^m$. Первое неравенство верно с некоторого момента, так как $p\gg p_0$, второе {{---}} неравенство Бернулли. Оно верно при $(-p_0)>-1$ и $m\notin[0,1]$. Первое ограничение соблюдено, потом выберем $m$ с учетом этого ограничения.
 +
* $P(G(n,1-(1-p_0)^m)\in\mathcal{A})=P(H\in\mathcal{A})\geqslant 1-(1-P(G(n,p_0)\in\mathcal{A}))^m=1-1/2^m$. Про первое равенство уже поняли, про последнее {{---}} так выбрали $p_0$.
 +
Для доказательства неравенства достаточно понять, что если $H\notin\mathcal{A}$, то все $G_i\notin\mathcal{A}$ (действительно, ведь $P(H\in\mathcal{A})=1-P(H\notin\mathcal{A})$, перенесем, уберем по единице). А это верно в силу монотонности свойства $\mathcal{A}$.
 +
* $1-1/2^m>1-\varepsilon$. Это равносильно $m\geqslant \log_2{1/\varepsilon}$. Положим $m=\log_2{1/\varepsilon}+2$. Тогда исходное неравенство верно, а также ограничение для неравенства Бернулли выполнено.
  
Оказывается, что $P(G(n,1-(1-p_0(n))^m)\in\mathcal{A})=P(H\in\mathcal{A})$.
+
Мы зафиксировали $\varepsilon$ и доказали, что $P(G(n,p_p)\in\mathcal{A})>1-\varepsilon$ верно с некоторого  момента. Это и значит $P(G(n,p)\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$
* Действительно, посмотрим, с какой вероятностью в $H$ не окажется фиксированного ребра. Это будет тогда, когда во всех графах $G_i$ не будет его, то есть $P(\text{в }H\text{ нет ребра})=(1-p_0(n))^m$. Тогда в $H$ будет ребро с вероятностью $1-(1-p_0(n))^m$. Мы получили даже, что $H\in G(n,1-(1-p_0(n))^m)$.
 
  
<br>
+
Теперь пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$.
Оценим вероятность принадлежности $H$ свойству $\mathcal{A}$: $P(H\in\mathcal{A})\geqslant 1-(1-P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A}))^m$.  
+
Зафиксируем $\varepsilon$. Так как $1-\varepsilon<1$, то найдется такое натуральное $m$, что $(1-\varepsilon)^m<1/2$.
* Перепишем неравенство с учетом $P(H\in\mathcal{A})=1-P(H\notin\mathcal{A})$: $(1-P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A}))^m\geqslant P(H\notin\mathcal{A})$.
+
Так как $p\ll p_0$, то с некоторого момента $p m<p_0$, тогда $p_0>m p\geqslant 1-(1-p)^m$.
* Если мы покажем, что из правого события следует левое, то тогда докажем само неравенство.
 
* Справа {{---}} вероятность того, что граф $H$ не попал в $\mathcal{A}$. Тогда (в силу монотонности свойства) и все его подграфы (в том числе и $G_i$) тоже не попали в $\mathcal{A}$.
 
* А слева как раз и есть вероятность того, что все графы $G_i$ не попали в $\mathcal{A}$.
 
  
<br>
+
Выберем $m$ графов из $G(n,p)$ $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$. Как мы уже знаем, $H\in G(n,1-(1-p)^m)$
По построению $p_0(n)$ правую часть последнего неравенства можно легко посчитать: $1-(1-P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A}))^m=1-(1-1/2)^m=1-1/2^m$
+
* $(1-P(G(n,p)\in\mathcal{A}))^m=P(\forall\,G_i\notin\mathcal{A})\geqslant P(H\notin\mathcal{A})\geqslant1/2$. Из нового только последнее неравенство, остальное уже доказано. Оно следует из $P(H\in\mathcal{A})=P(G(n,1-(1-p)^m)\in\mathcal{A})<P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})$
 
+
* $1/2>(1-\varepsilon)^m$. Из-за выбора $m$. Тогда $(1-P(G(n,p)\in\mathcal{A}))^m>(1-\varepsilon)^m\Rightarrow P(G(n,p)\in\mathcal{A})<\varepsilon$
<br>
+
Мы по $\varepsilon$ научились понимать, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})<\varepsilon$ верно с некоторого момента, что и означает сходимость.
Совершим последнюю оценку: $1-1/2^m>1-\varepsilon$.
 
* Это равносильно $m\geqslant \log_2{1/\varepsilon}$. Положим $m=\log_2{1/\varepsilon}+2$. Тогда исходное неравенство верно, а также ограничение для неравенства Бернулли выполнено.
 
 
 
<br>
 
За несколько шагов мы показали, что неравенство $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})>1-\varepsilon$ выполняется с некоторого момента. Это и значит $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$
 
 
 
<br>
 
Теперь пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$. Докажем, что $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$.
 
 
 
<br>
 
Зафиксируем $\varepsilon>0$.
 
* (1) Так как $1-\varepsilon<1$, то найдется такое натуральное $m$, что $(1-\varepsilon)^m<1/2$.
 
* (2) Так как $p\ll p_0$, то с некоторого момента $p(n) m<p_0(n)$, тогда $p_0(n)>m p(n)\geqslant 1-(1-p(n))^m$.
 
 
 
<br>
 
Выберем $m$ графов из $G(n,p(n))$ $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$. Как мы уже знаем, $H\in G(n,1-(1-p(n))^m)$.
 
 
 
<br>
 
$(1-P(G(n,p(n))\in\mathcal{A}))^m=P(\forall\,i\colon G_i\notin\mathcal{A})\geqslant P(H\notin\mathcal{A})\geqslant1/2$.
 
* Из нового только последнее неравенство, остальное уже доказано.
 
* Оно следует из $P(H\in\mathcal{A})=P(G(n,1-(1-p(n))^m)\in\mathcal{A})<P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A})=1/2$. В последнем неравенстве мы пользуемся леммой о монотонности вероятности и (2).
 
 
 
<br>
 
$1/2>(1-\varepsilon)^m$ по (1). Тогда $(1-P(G(n,p(n))\in\mathcal{A}))^m>(1-\varepsilon)^m\Rightarrow P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})<\varepsilon$
 
Мы по $\varepsilon$ научились понимать, что $P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A})<\varepsilon$ верно с некоторого момента, что и означает сходимость.
 
 
}}
 
}}

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)