Теорема о существовании простого пути в случае существования пути — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
==Определения==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 
'''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа {{---}} путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.
 
'''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа {{---}} путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.
 
}}
 
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Простой (реберно-простой) путь''' между двумя вершинами графа {{---}} путь между ними, в котором каждое из ребер графа встречается не более одного раза.
 +
}}
 +
 +
[[Файл: prime_graph.png|thumb|300px|left|Ориентированный граф<br><font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь<br><font color=#22B14C>Зеленым</font> реберно-простой путь]]
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 9: Строка 16:
 
}}
 
}}
  
 +
==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=

Версия 05:28, 26 октября 2011

Определения

Определение:
Простой (вершинно-простой) путь между двумя вершинами графа — путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.


Определение:
Простой (реберно-простой) путь между двумя вершинами графа — путь между ними, в котором каждое из ребер графа встречается не более одного раза.


Ориентированный граф
Красным выделен вершинно-простой путь
Зеленым реберно-простой путь


Определение:
Длина пути — количество рёбер, входящих в последовательность, задающую этот путь.


Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Теорема:
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство построением

Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: [math]v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n[/math].

  • Алгоритм:
1. Для вершины [math]v_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в путь — [math]v_j[/math].
2. Удалим отрезок пути от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно.
Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math], и в нём вершина [math]v_i[/math] будет содержаться ровно один раз.

Начнём процесс с вершины [math]v_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.

Альтернативное

Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.

Предположение:

Пусть он не простой.
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]v_i = v_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь — простой.
[math]\triangleleft[/math]

Замечания

  • Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
  • Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.

См. также