Теорема о существовании простого пути в случае существования пути — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 1: Строка 1:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.
+
Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует простой путь.
 
|proof=
 
|proof=
 
Для доказательства этой теоремы введём два определения.
 
Для доказательства этой теоремы введём два определения.
Строка 7: Строка 7:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа – путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.
+
'''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа – [[Основные определения теории графов|путь]] между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Длина пути''' – количество рёбер, входящих в последовательность, задающую этот путь.
+
'''Длина пути''' – количество [[Основные определения теории графов|рёбер]], входящих в последовательность, задающую этот путь.
 
}}
 
}}
  
Строка 33: Строка 33:
 
}}
 
}}
  
==== Замечание ====
+
== Замечания ==
 
* Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
 
* Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
 +
* Теорема может быть сформулирована как для [[Основные определения теории графов|ориентированного]], так и для [[Основные определения теории графов|неориентированного]] графа.

Версия 01:20, 11 октября 2010

Теорема:
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства этой теоремы введём два определения.


Определение:
Простой (вершинно-простой) путь между двумя вершинами графа – путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.


Определение:
Длина пути – количество рёбер, входящих в последовательность, задающую этот путь.


Доказательство построением

Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: [math]V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n[/math].

  • Алгоритм:
1. Для вершины [math]V_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в путь – [math]V_j[/math].
2. Удалим отрезок пути от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно.
Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от [math]V_0[/math] до [math]V_n[/math], и в нём вершина [math]V_i[/math] будет содержаться ровно один раз.

Начнём процесс с вершины [math]V_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.

Альтернативное

Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.

Предположение:

Пусть он не простой.
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]V_i = V_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]V_0[/math] до [math]V_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь – простой.
[math]\triangleleft[/math]

Замечания

  • Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
  • Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.