Теорема о существовании простого пути в случае существования пути — различия между версиями
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути== | ==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути== | ||
− | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 7: | Строка 5: | ||
|proof = | |proof = | ||
=== Конструктивное доказательство === | === Конструктивное доказательство === | ||
− | + | Рассмотрим путь: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 \ldots e_nv_n</tex> между вершинами <tex>v_0</tex> и <tex>v_n</tex>. Возьмем <tex>v_i</tex> {{---}} вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу <tex>v_ie_{i+1}v_{i+1}e_{i+2} \ldots v_{j=i}</tex>. Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём <tex>v_0 \ldots v_n</tex>, но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым. | |
− | |||
=== Неконструктивное доказательство === | === Неконструктивное доказательство === | ||
Строка 17: | Строка 14: | ||
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой. | Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой. | ||
}} | }} | ||
− | |||
[[Файл:Simple way.png|thumb|250px|right|Ориентированный граф. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь. <font color=#3771c8ff>Синим</font> {{---}} реберно-простой путь.]] | [[Файл:Simple way.png|thumb|250px|right|Ориентированный граф. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь. <font color=#3771c8ff>Синим</font> {{---}} реберно-простой путь.]] | ||
− | |||
== Замечания == | == Замечания == | ||
* Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути. | * Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути. |
Версия 20:35, 16 октября 2016
Содержание
Теорема о существовании простого пути в случае существования пути
Теорема: | ||
Доказательство: | ||
Конструктивное доказательствоРассмотрим путь: между вершинами и . Возьмем — вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу . Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём , но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым.Неконструктивное доказательствоВыберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.
| ||
Замечания
- Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
- Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.