Теорема о существовании простого пути в случае существования пути — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:Simple way.png|thumb|275px|right|Ориентированный граф<br><font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь<br><font color=#3771c8ff>Синим</font> реберно-простой путь]]
+
[[Файл:Simple way.png|thumb|275px|right|Ориентированный граф. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь. <font color=#3771c8ff>Синим</font> {{---}} реберно-простой путь.]]
  
 
==Определения==
 
==Определения==

Версия 16:35, 8 мая 2012

Ориентированный граф. Красным выделен вершинно-простой путь. Синим — реберно-простой путь.

Определения

Определение:
Простой (вершинно-простой) путь — путь, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.


Определение:
Реберно-простой путь — путь, в котором каждое из ребер графа встречается не более одного раза.


Определение:
Длина пути — количество рёбер, входящих в последовательность, задающую этот путь.


Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Теорема:
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство построением

Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: [math]v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n[/math].

  • Алгоритм:
1. Для вершины [math]v_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в путь — [math]v_j[/math].
2. Удалим отрезок пути от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно.
Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math], и в нём вершина [math]v_i[/math] будет содержаться ровно один раз.

Начнём процесс с вершины [math]v_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.

Альтернативное

Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.

Предположение:

Пусть он не простой.
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]v_i = v_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь — простой.
[math]\triangleleft[/math]

Замечания

  • Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
  • Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.

См. также