Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Материал из Викиконспекты
Версия от 21:48, 20 октября 2016; Shersh (обсуждение | вклад) (Теорема о существовании простого пути в случае существования пути)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о существовании простого пути в случае существования пути[править]

Ориентированный граф. Красным выделен вершинно-простой путь. Синим — реберно-простой путь.
Теорема:
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует вершинно-простой путь.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Конструктивное доказательство

Рассмотрим путь: [math]v_0e_1v_1e_2v_2 \ldots e_nv_n[/math] между вершинами [math]v_0[/math] и [math]v_n[/math], причём [math]v_0 \neq v_n[/math]. Возьмем [math]v_i[/math] — вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу [math]v_ie_{i+1}v_{i+1}e_{i+2} \ldots v_{j=i}[/math]. Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём [math]v_0 \ldots v_n[/math], но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины [math]v_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым.

Неконструктивное доказательство

Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.

Утверждение:
Допустим, что выбранный путь не является простым
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]v_i = v_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь — простой.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Данная теорема не верна для случая [math]v_0 = v_n[/math].
[math]\triangleright[/math]
В данном случае мы не сможем найти вершинно-простой путь, так как путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
[math]\triangleleft[/math]

Замечания[править]

  • Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
  • Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.

См. также[править]