Редактирование: Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 4: Строка 4:
 
<tex>\Rightarrow</tex>
 
<tex>\Rightarrow</tex>
  
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных рёберно простых пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Пусть это будут пути <tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_k</tex>. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, т.к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots  v</tex> и <tex>s' = w e'_{k+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдём первую совпадающую вершину  <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и <tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \leadsto w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \leadsto w</tex> частью цепи <tex>s'</tex>, является циклическим путем. Действительно, в  путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух одинаковых рёбер подряд не бывает, т.к. это рёберно простые пути, а рёбра, смежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex>, не совпадают по построению. Циклический путь <tex>c</tex> является представителем некоторого цикла в графе <tex>G</tex>.
+
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных рёберно простых пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Пусть это будут пути <tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_k</tex>. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, т.к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots  v</tex> и <tex>s' = w e'_{k+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдем первую совпадающую вершину  <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и <tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \leadsto w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \leadsto w</tex> частью цепи <tex>s'</tex>, является циклическим путем. Действительно, в  путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух одинаковых рёбер подряд не бывает, т.к. это рёберно простые пути, а рёбра, смежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex>, не совпадают по построению. Циклический путь <tex>c</tex> является представителем некоторого цикла в графе <tex>G</tex>.
  
 
<tex>\Leftarrow</tex>
 
<tex>\Leftarrow</tex>
  
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}}  его представитель. Найдём первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения <tex>c</tex> с самим собой.  Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex>: он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то в <tex>c</tex> вершина <tex>v_j'</tex> повторяется раньше, чем <tex>v_l</tex>. Теперь элементарно взяв две вершины <tex>v_k</tex> и <tex>v_{k+1}</tex> легко заметить, что существует два различных рёберно непересекающихся пути между ними: <tex>v_k e_{k+1} v_{k+1}</tex> и <tex>v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k</tex>.
+
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}}  его представитель. Найдем первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения <tex>c</tex> с самим собой.  Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex>: он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то в <tex>c</tex> вершина <tex>v_j'</tex> повторяется раньше, чем <tex>v_l</tex>. Теперь элементарно взяв две вершины <tex>v_k</tex> и <tex>v_{k+1}</tex> легко заметить, что существует два различных рёберно непересекающихся пути между ними: <tex>v_k e_{k+1} v_{k+1}</tex> и <tex>v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k</tex>.
 
  }}
 
  }}
 
[[Файл:2_paths_and_a_cycle.png|600px|thumb|center|Иллюстрация к лемме: пути отмечены соответственно <font color="f00000">красным</font> и <font color="0000f0">синим</font> (их общий префикс отмечен пунктиром), а циклический путь <tex>c</tex> проходит вдоль чёрных стрелок]]
 
[[Файл:2_paths_and_a_cycle.png|600px|thumb|center|Иллюстрация к лемме: пути отмечены соответственно <font color="f00000">красным</font> и <font color="0000f0">синим</font> (их общий префикс отмечен пунктиром), а циклический путь <tex>c</tex> проходит вдоль чёрных стрелок]]
Строка 35: Строка 35:
 
== См. также ==
 
== См. также ==
 
* [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути]]
 
* [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути]]
* [[Отношение рёберной двусвязности]]
+
* [[Отношение реберной двусвязности]]
 
* [[Отношение вершинной двусвязности]]
 
* [[Отношение вершинной двусвязности]]
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)