Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Тикет 1-4: доказательство заменено на более простое, иллюстрация соответствующим образом изменена)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement=Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо двумя вершинами графа <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе.
+
|statement=Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо двумя вершинами неориентированного графа <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе.
 
|proof=
 
|proof=
 
"<tex>\Rightarrow</tex>"
 
"<tex>\Rightarrow</tex>"
Строка 16: Строка 16:
 
Если в неориентированном графе существует цикл, то в этом графе существует простой цикл.
 
Если в неориентированном графе существует цикл, то в этом графе существует простой цикл.
 
|proof=
 
|proof=
Воспользуемся доказанной выше леммой. Так как в нашем графе существует цикл, то существуют два реберно-простых пути между некоторыми вершинами: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n</tex>, <tex>v'_0e'_1v'_1e'_2v'_2 ... e'_mv'_m</tex>, <tex>v_0 = v'_0</tex>, <tex>v_n = v'_m</tex>. Удалим из путей одинаковые префиксы и суффиксы, оставив из тех только последние и первые вершины, соответственно. Оставшиеся пути: <tex>v_ae_{a+1} ... e_bv_b</tex>, <tex>v'_ae'_{a+1} ... e'_cv'_c</tex>, <tex>v_a = v'_a</tex>, <tex>v_b = v'_c</tex>, <tex>e_{a+1} \neq e'_{a+1}</tex>, <tex>e_b \neq e'_c</tex>.
+
Выберем в графе минимальный по количеству рёбер цикл (он существует, потому что количество рёбер в любом цикле — натуральное число <ref>[[Натуральные и целые числа#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.8C.D1.88.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0|Существование наименьшего элемента в любом подмножестве <tex>\Bbb N</tex>]]</ref>). Предположим, что он не простой. Но тогда он содержит дважды одну и ту же вершину, т. е. содержит в себе цикл меньшего размера, что противоречит тому, что наш цикл минимальный. Таким образом, этот цикл — простой.}}
  
Рассмотрим конкатенацию первого нового пути и развёрнутого второго нового пути. Она будет циклом, так как начальная и конечная вершины совпадают, изначально пути были рёберно-простыми, а в точке соединения, равно как и в точке замыкания цикла, условие различности двух идущих подряд рёбер выполняется. Мы получили цикл, определим его: <tex>v_0e_1v_1 ... e_kv_k</tex>, <tex>v_0 = v_k</tex>. Дальше будем избавляться от повторных вхождений вершин в наш цикл, действуя по следующему алгоритму:
+
[[Файл:Simple cycle.png|thumb|580px|center|В графе минимальный цикл включает в себя четыре ребра — таких цикла два: [2 - 6 - 7 - 3] (выделен <font color="red">красным</font>) и [2 - 5 - 6 - 4] (выделен <font color=#3771c8ff>синим</font>). Согласно теореме, оба они просты.<br>]]
 
 
* Алгоритм:
 
1. Для вершины <tex>v_i</tex> найдём момент её последнего вхождения в цикл - <tex>v_j</tex>.
 
2. Удалим отрезок цикла от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно.
 
Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется циклом, и в нём вершина <tex>v_i</tex> будет содержаться ровно один раз.
 
Начнём процесс с вершины <tex>v_1</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового цикла, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся цикл будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.
 
}}
 
 
 
[[Файл:Simple cycle.png|thumb|580px|center|Из цикла [2 - 5 - 6 - 4 - 2 - 6 - 7 - 3] получаем цикл [2 - 6 - 7 - 3]. Для вершины 2 находим последнее ее вхождение в цикл и удаляем отрезок цикла, выделенный <font color=#3771c8ff>синим.</font><br>]]
 
  
 
== Замечания ==
 
== Замечания ==
Строка 36: Строка 27:
  
 
в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост.
 
в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост.
 +
 +
== Примечания ==
 +
<references/>
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 21:16, 8 января 2015

Лемма:
Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо двумя вершинами неориентированного графа [math]G[/math] равносильно наличию цикла в этом графе.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

"[math]\Rightarrow[/math]"

Предположим, что в графе [math]G[/math] существует два различных реберно-простых пути между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math]. Пусть это будут пути [math]p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v[/math] и [math]p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v[/math]. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине [math]w = v_k = v'_l[/math]. Заметим, что [math]w \neq v[/math], т. к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей [math]p[/math] и [math]p'[/math]: [math]s = w e_{k+1} \ldots v[/math] и [math]s' = w e'_{l+1} \ldots v[/math] соответственно. Найдем первую совпадающую вершину [math]w'[/math] в [math]s[/math] и [math]s'[/math], не равную [math]w[/math]. Осталось заметить, что замкнутый путь [math]c[/math], полученный объединением [math]w \rightarrow w'[/math] части пути [math]s[/math] вместе с [math]w' \rightarrow w[/math] частью цепи [math]s'[/math] является циклическим путем. Действительно, т. r. в путях [math]s[/math] и [math]s'[/math] двух ребер подряд не бывает, т.к. это реберно простые пути, а ребра, смежные с [math]w[/math] и [math]w'[/math] не совпадают по построению. Циклический путь [math]c[/math] является представителем некоторого цикла в графе [math]G[/math].

"[math]\Leftarrow[/math]"

Предположим, что в графе [math]G[/math] существует цикл и пусть циклический путь [math]c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0[/math] — его представитель. Найдем первую точку [math]w = v_k = v_l (l \gt k)[/math] пересечения [math]c[/math] с самим собой. Необходимо такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь [math]v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l[/math]: он простой, т. к. если это неверно и существует вершина [math]v_j = v_j' (k \lt j \lt j' \lt l)[/math], то в [math]c[/math] вершина [math]v_j'[/math] повторяется раньше, чем [math]v_l[/math]. Теперь элементарно взяв две вершины [math]v_k[/math] и [math]v_{k+1}[/math] легко заметить, что существует два различных реберно-неперсекающихся пути между ними: [math]v_k e_{k+1} v_{k+1}[/math] и [math]v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Если в неориентированном графе существует цикл, то в этом графе существует простой цикл.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Выберем в графе минимальный по количеству рёбер цикл (он существует, потому что количество рёбер в любом цикле — натуральное число [1]). Предположим, что он не простой. Но тогда он содержит дважды одну и ту же вершину, т. е. содержит в себе цикл меньшего размера, что противоречит тому, что наш цикл минимальный. Таким образом, этот цикл — простой.
[math]\triangleleft[/math]
В графе минимальный цикл включает в себя четыре ребра — таких цикла два: [2 - 6 - 7 - 3] (выделен красным) и [2 - 5 - 6 - 4] (выделен синим). Согласно теореме, оба они просты.

Замечания

  • Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия).
  • Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для рёберно-простого цикла (ослабление результата).
  • Утверждение

Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.

в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост.

Примечания

См. также