Редактирование: Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 24: Строка 24:
 
|statement=Мультипликативная группа поля <math>\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}</math> циклична.
 
|statement=Мультипликативная группа поля <math>\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}</math> циклична.
 
|proof=
 
|proof=
Итак, нам требуется доказать существование порождающего элемента для нашей группы {{---}} то есть такого элемента <tex>g</tex>, что <tex>\forall a: 1\leqslant a\leqslant p-1 ;\exists x: g^x=a \pmod p</tex>. Пусть <tex>k=lcm(ord(i))</tex> по всем <tex>i:0 < i\leqslant p-1</tex>. Пусть теперь <tex>k=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}</tex>. Тогда из определения <tex>k</tex> и свойств <tex>lcm</tex> следует, что <tex>\exists a:{ }ord(a)\vdots p_i^{k_i}</tex>. Значит, <tex>ord(a)=x \cdot p_i^{k_i}</tex> для некоторого <tex>x</tex>, тогда по второй лемме <tex>ord(a^x)=p_i^{k_i}</tex>. Таким образом, мы можем найти такое число, что его порядок равен <tex>p_i^{k_i}</tex>. Пусть <tex>ord(a_i)=p_i^{k_i}</tex>. Тогда <tex>h= \prod^m_{i=1}a_i</tex> {{---}} искомый элемент. И правда {{---}} <tex>ord(h)=k</tex> {{---}} по первой лемме. Очевидно порядок числа не может быть больше <tex>p-1</tex>, значит <tex>k\leqslant p-1</tex>. С другой стороны условие <tex>x^k=1 \pmod p</tex> выполняется для всех ненулевых вычетов по модулю <tex>p</tex>, которых <tex>p-1</tex> штук, а это уравнение не может иметь более <tex>k</tex> решений (поскольку полином от одной переменной степени <tex>k</tex> не может иметь более <tex>k</tex> корней над [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей|полем]]). Таким образом, <tex>p-1\leqslant k</tex>. Значит,<tex>k=p-1</tex>, что и требовалось.
+
Итак, нам требуется доказать существование порождающего элемента для нашей группы {{---}} то есть такого элемента <tex>g</tex>, что <tex>\forall a: 1\leqslant a\leqslant p-1 ;\exists x: g^x=a \pmod p</tex>. Пусть <tex>k=lcm(ord(i))</tex> по всем <tex>i:0 < i\leqslant p-1</tex>. Пусть теперь <tex>k=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}</tex>. Тогда из определения <tex>k</tex> и свойств <tex>lcm</tex> следует, что <tex>\exists a:{ }ord(a)\vdots p_i^{k_i}</tex>. Значит, <tex>ord(a)=x \cdot p_i^{k_i}</tex> для некоторого <tex>x</tex>, тогда по второй лемме <tex>ord(a^x)=p_i^{k_i}</tex>. Таким образом, мы можем найти такое число, что его порядок равен <tex>p_i^{k_i}</tex>. Пусть <tex>ord(a_i)=p_i^{k_i}</tex>. Тогда <tex>h= \prod^m_{i=1}a_i</tex> {{---}} искомый элемент. И правда {{---}} <tex>ord(h)=k</tex> {{---}} по первой лемме. Очевидно порядок числа не может быть больше <tex>p-1</tex>, значит <tex>k\leqslant p-1</tex>. С другой стороны условие <tex>x^k=1 \pmod p</tex> выполняется для всех ненулевых вычетов по модулю <tex>p</tex>, которых <tex>p-1</tex> штук, а это уравнение не может иметь более <tex>k</tex> решений (поскольку полином от одной переменной степени <tex>k</tex> не может иметь более <tex>k</tex> корней над [[поле|полем]]). Таким образом, <tex>p-1\leqslant k</tex>. Значит,<tex>k=p-1</tex>, что и требовалось.
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория: Теория чисел]]
 
[[Категория: Теория чисел]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: