Редактирование: Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
 
 
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
 
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). <tex>\mathcal R</tex> называется '''полукольцом''' множеств из <tex>X</tex>, если:
+
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
 
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
 
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
Строка 16: Строка 14:
  
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно дополнения)
+
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cup C \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно объединения)
+
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>
  
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> объединения счетного числа множеств
+
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств
 
}}
 
}}
  
Строка 30: Строка 28:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex> \mathcal R </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
+
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
  
 
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
 
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-аддитивность)
+
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность)
 
}}
 
}}
 
===Два важных свойства на полукольце:===
 
===Два важных свойства на полукольце:===
Строка 41: Строка 39:
 
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
 
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
  
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'')
+
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'')
  
 
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
 
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
Строка 53: Строка 51:
 
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
 
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
  
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность)
+
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
 
}}
 
}}
  
Пусть заданы полукольцо <tex> \mathcal R </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
+
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
  
 
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
 
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
Строка 80: Строка 78:
 
=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы=
 
=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы=
  
{{Теорема
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
|author=Каратеодори
 
|statement=
 
Пусть построения <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда:
 
# <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>
 
# <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>
 
}}
 
  
 
=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори=
 
=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори=
Строка 100: Строка 92:
 
=7. Критерий мю*-измеримости=
 
=7. Критерий мю*-измеримости=
  
{{Утверждение
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
|about=Критерий <tex>\mu</tex>-измеримости
 
|statement=Пусть <tex>E\subset X</tex>. Тогда <tex>E</tex>-измеримо <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon > 0</tex>  <tex> \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(B_\varepsilon\setminus A_\varepsilon) < \varepsilon</tex>
 
}}
 
  
 
=8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства=
 
=8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства=
Строка 127: Строка 116:
 
=9. Объем, как мера на полукольце ячеек=
 
=9. Объем, как мера на полукольце ячеек=
  
{{Теорема
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, мера на этом множестве.
 
}}
 
  
 
=10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)=
 
=10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)=
Строка 136: Строка 123:
  
 
=11. Теорема о внешней мере в R^n=
 
=11. Теорема о внешней мере в R^n=
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Пусть <tex> E \subset \mathbb R ^n </tex>. Тогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества).
 
}}
 
  
 
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
 
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
Строка 159: Строка 141:
 
<tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex>
 
<tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex>
  
Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E ( P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно.
+
Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 205: Строка 187:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Две функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, определённые на множестве <tex>E \in X</tex>, называются '''эквивалентными''' на этом множестве, если  <tex>f(x) = g(x)</tex> почти всюду.
+
Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> '''почти всюду''' на <tex>E</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 224: Строка 206:
  
 
//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}.
 
//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}.
: А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к <tex> f </tex>, то она будет сходиться почти всюду и к любой функции <tex>g</tex> такой, что <tex>g \sim f</tex>. А значит, будет сходиться к ней и по мере.
 
  
 
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
 
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
Строка 244: Строка 225:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Егоров
 
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex> <br>
+
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, <tex>\delta > 0</tex>.
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
+
Тогда <tex>\exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 265: Строка 246:
  
 
=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега=
 
=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега=
 
Есть <tex>(X, \mathcal{A}, \mu)</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная.
 
 
Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>),
 
<tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>.
 
 
Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:
 
 
<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение.
 
 
Строим системы чисел <tex>m_p(f)  = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex>, они конечны.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 347: Строка 317:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Лебег
 
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
+
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 354: Строка 324:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup\int\limits_{e}fd\mu < +\infty</tex>, где <tex>e</tex> - '''хорошее множество''', то есть <tex>e \subset E</tex>, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>.
+
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если на нём суммируемы <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex>.
 +
В этом случае, <tex> \int\limits_E f \underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 366: Строка 337:
 
=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций=
 
=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций=
  
(Конечно долго, но кто хочет - исправьте)
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
<tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на любые <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность.
 
Действительно, <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>:
 
 
 
Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично, <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>.
 
 
 
После этого, <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры, можно считать, что <tex>\forall p: \mu B_p < +\infty</tex>.
 
 
 
За счет <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла от неотрицательной функции:
 
 
 
<tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex>. Получили линейность.
 
  
 
=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака=
 
=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака=
Строка 384: Строка 345:
 
=32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости=
 
=32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости=
  
 +
== Теорема Лебега ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=
Строка 390: Строка 352:
 
о мажорируемой сходимости
 
о мажорируемой сходимости
 
|statement=
 
|statement=
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — суммируемая.
+
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — измеримая.
  
 
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
 
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
Строка 416: Строка 378:
 
=34. Теорема Фату=
 
=34. Теорема Фату=
  
 +
== Теорема Фату ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=
Строка 451: Строка 414:
 
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
 
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
  
{{Теорема
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
|statement=
 
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
 
|proof=
 
}}
 
 
 
 
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
 
|proof=
 
}}
 
  
 
=38. Мера цилиндра=
 
=38. Мера цилиндра=
Строка 482: Строка 434:
 
=39. Мера подграфика=
 
=39. Мера подграфика=
  
{{Теорема
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
|about=
 
о мере подграфика
 
|statement=
 
Если <tex> f(x) \ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, то её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>.
 
}}
 
  
 
=40. Вычисление меры множества посредством его сечений=
 
=40. Вычисление меры множества посредством его сечений=
  
{{Теорема
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
|statement=
 
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>
 
 
 
Тогда:
 
# <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.
 
# <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция.
 
# <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1  </tex>
 
}}
 
  
 
=41. Теорема Фубини=
 
=41. Теорема Фубини=
  
{{Теорема
+
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
|author=
 
Фубини
 
|statement=
 
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R </tex> — измерима.
 
 
 
<tex> \int\limits_E |f| d \lambda_2 < + \infty </tex> (<tex> f </tex> — суммируема).
 
 
 
Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)
 
}}
 
 
 
=42. Восстановление первообразной по ограниченной производной=
 
 
 
{{Теорема
 
|statement=
 
 
 
Пусть задана дифференциируемая функция <tex>F(x)</tex> на интервале <tex>[a,b)</tex>, производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная <tex>f(x) = F'(x)</tex> - измерима на <tex>[a;b)</tex> и выполняется равенство <tex>F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt</tex>
 
}}
 
 
 
=43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману=
 
 
 
{{Теорема
 
|author=
 
Лебег
 
|statement=
 
<tex>f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f </tex> почти всюду непрерывна на <tex>(a,b)</tex>
 
}}
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)