Редактирование: Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). <tex>\mathcal R</tex> называется '''полукольцом''' множеств из <tex>X</tex>, если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> A, B \in \mathcal R, A \subset B  \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> —  совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> — '''алгебра''', если:

# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно дополнения)
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cup C \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно объединения)

<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> объединения счетного числа множеств
}}

Примеры:

{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}

=2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства=

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \mathcal R </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:

# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-аддитивность)
}}
===Два важных свойства на полукольце:===

Пусть  <tex> m </tex> — мера на полукольце  <tex> \mathcal R </tex>, тогда:

1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>

2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'')

''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.

=3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце=

{{Определение
|definition=
'''Внешняя мера''' на множестве <tex> X </tex> - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств <tex> X </tex>, и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>

2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность)
}}

Пусть заданы полукольцо <tex> \mathcal R </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:

1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.

2) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.

{{Теорема
|statement=
Определенная нами <tex> \mu^* </tex> является корректной внешней мерой на <tex> X </tex>, при этом, для <tex> A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) </tex>.
}}

=4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы=

{{Определение
|definition=
Пусть есть множество <tex> X </tex> и внешняя мера <tex> \mu^* </tex> на нем, и множества <tex> A, B </tex> являются подмножествами <tex> X </tex>. Множество <tex> A </tex> '''хорошо разбивает''' множество <tex> B </tex>, если <tex> \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>.
}}

{{Определение
|definition=Множество <tex>A \in X</tex> называется '''μ*-измеримым''', если оно хорошо разбивает всякое множество <tex>E \in X</tex>.
}}

=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы=

{{Теорема
|author=Каратеодори
|statement=
Пусть построения <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда:
# <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>
# <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>
}}

=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори=
<tex>(m, \mathcal{R}) \to \mu^* \to (\mu, \mathcal{A}) \to \nu^*</tex>.

Построим <tex>\nu^*</tex> {{---}} внешнюю мера для <tex>(\mu, \mathcal{A})</tex>.
Возникает вопрос: "Построили ли мы что-то новое?"

{{Теорема
|statement=<tex>\mu^*=\nu^*</tex> (повторное применение процесса Каратеодори не приводит нас к новой мере).
}}

=7. Критерий мю*-измеримости=

{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}

=8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства=

{{Определение
|definition=<tex>\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
}}

{{Определение
|definition=<tex>v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)</tex> {{---}} объём прямоугольника
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), тогда <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
}}

=9. Объем, как мера на полукольце ячеек=

{{Теорема
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, мера на этом множестве.
}}

=10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)=

{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}

=11. Теорема о внешней мере в R^n=

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> E \subset \mathbb R ^n </tex>. Тогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества).
}}

{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}

=12. Структура измеримого по Лебегу множества=

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде <tex> E = A \cup B </tex>, причем A - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>, а <tex> \lambda B = 0</tex>.
}}

=13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега=

Будем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная, то есть:

<tex> X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p < + \infty </tex>

<tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex>

Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E ( P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно.

{{Определение
|definition=
<tex> a \in \mathbb R </tex>, <tex> E(f < a), E(f \le a), E(f > a), E(f \ge a) </tex> — '''множества Лебега''' функции <tex> f </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-алгебре).
}}

{{Утверждение
|about=
Измеримость по Лебегу
|statement=
Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \Leftrightarrow </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
}}

=14. Арифметика измеримых функций=

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
1) <tex>|f|</tex> {{---}} измерима <br>
1.5) <tex>kf</tex> {{---}} измеримо (<tex>k \in \mathbb{R}</tex>) <br>
2) <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо <br>
3) <tex>f + g</tex> {{---}} измеримо <br>
4) <tex>f \cdot g</tex> {{---}} измеримо <br>
}}

=15. Измеримость поточечного предела измеримых функций=

{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E</tex> измеримо, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>
Тогда <tex>f</tex> тоже измеримо на <tex>E</tex>.
}}

=16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду=

{{Определение
|definition=
Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> '''почти всюду''' на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Две функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, определённые на множестве <tex>E \in X</tex>, называются '''эквивалентными''' на этом множестве, если  <tex>f(x) = g(x)</tex> почти всюду.
}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} измерима.
}}

=17. Предел по мере и его единственность=

Пусть функции <tex>f_n, f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, множества <tex>E(|f_n - f| \geq \delta)</tex>, где <tex>\delta > 0</tex>, измеримы.

{{Определение
|definition=<tex>f_n</tex> стремятся по мере на <tex>E</tex> к <tex>f</tex> (<tex>f_n\stackrel{[E]}{\Rightarrow} f</tex>), если <tex>\forall\delta>0 : \mu E(|f_n - f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0</tex>
}}

В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.

//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}.
: А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к <tex> f </tex>, то она будет сходиться почти всюду и к любой функции <tex>g</tex> такой, что <tex>g \sim f</tex>. А значит, будет сходиться к ней и по мере.

=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=

{{Теорема
|author=Лебег
|statement=<tex>\mu E<+\infty</tex>, <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} f</tex>.
}}

=19. Теорема Рисса=

{{Теорема
|author=Фердинанд Рисс
|statement=Пусть последовательность функций сходится по мере к функции <tex>f</tex> на <tex>E</tex>. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на <tex>E</tex>.
}}

=20. Теорема Егорова=

{{Теорема
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex> <br>
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
}}

=21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше=

{{Теорема
|author=Лузин
|statement=<tex>E \subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> по мере Лебега. Тогда <tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \varphi</tex> {{---}} непрерывная на <tex>\mathbb{R}^n</tex>, <tex>\lambda_nE(f\ne\varphi)<\varepsilon</tex>
}}

Это принято называть <tex>C</tex>-свойством Лузина. 

Если, помимо всего прочего, <tex>f(x)</tex> ограничена <tex>M</tex> на <tex>E</tex>, то <tex>\varphi</tex> можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на <tex>\mathbb{R}^n</tex>.

{{Теорема
|author=Фреше
|statement=<tex>E\subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex>. Тогда <tex>\exists\varphi_n</tex> {{---}} последовательность непрерывных на <tex>\mathbb{R}^n</tex> функций, такая, что <tex>\varphi_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
}}

=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега=

Есть <tex>(X, \mathcal{A}, \mu)</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная. 

Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>),
<tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>.

Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:

<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение.

Строим системы чисел <tex>m_p(f)  = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex>, они конечны.

{{Определение
|definition=Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу {{---}} <tex>\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p</tex>, <tex>\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p</tex>. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.
}}

{{Определение
|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если любой отрезок <tex> e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то отрезке <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>
2. <tex>\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)</tex>, <tex>\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
}}

Тогда, если определить <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: <tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>.

{{Определение
|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} интегрируема по Лебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{---}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}</tex>. Иначе говоря, существует интеграл Лебега <tex>\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx</tex>.
}}

=23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции=

Пусть <tex>E</tex> - произвольное измеримое множество, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex> - измеримая функция.

Рассмотрим набор множеств <tex> e </tex>, такой, что <tex>e \in E</tex> - измеримо, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. В такой ситуации существует <tex>\int \limits_{e} f d\mu</tex> {{---}} интеграл Лебега.

{{Определение
|definition=
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = \int \limits_{E} f d\mu</tex> {{---}}  интеграл по <tex>E</tex>.
}}

=24. Счетная аддитивность интеграла=

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: <tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>. <tex>f</tex> {{---}} измеримо, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex>. Тогда <tex>\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.
}}

=25. Абсолютная непрерывность интеграла=

{{Теорема
|about=
Абсолютная непрерывность
|statement=
Пусть <tex> f </tex> — суммируема на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| < \varepsilon </tex>
}}

=26. Арифметические свойства интеграла Лебега=

{{Теорема
|about=<tex>\sigma</tex>-аддитивность интеграла
|statement=
Пусть существует <tex> \int\limits_E fd\mu</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_n E_n</tex> {{---}} измеримы и дизъюнктны. Тогда <tex> \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_{E_n} fd\mu </tex>.
}}

{{Утверждение
|about=линейность интеграла
|statement=Пусть <tex>\exists\int f, \int g</tex>, <tex>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</tex>. Тогда <tex>\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu</tex>.
}}

=27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла=

{{Теорема
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
}}

=28. Определение интеграла от суммируемой функции=

{{Определение
|definition=
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup\int\limits_{e}fd\mu < +\infty</tex>, где <tex>e</tex> - '''хорошее множество''', то есть <tex>e \subset E</tex>, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>.
}}

=29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций=

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: <tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>. <tex>f</tex> {{---}} измеримо, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex>. Тогда <tex>\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.
}}

=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций=

(Конечно долго, но кто хочет - исправьте)
<tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на любые <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность.
Действительно, <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>:

Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично, <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>.

После этого, <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры, можно считать, что <tex>\forall p: \mu B_p < +\infty</tex>.

За счет <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла от неотрицательной функции: 

<tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex>. Получили линейность.

=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака=

Так как <tex> \int\limits_E </tex> определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также <tex> \sigma </tex>-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для <tex> f_+, f_- </tex> и сложить.

=32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости=

{{Теорема
|author=
Лебег
|about=
о мажорируемой сходимости
|statement=
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — суммируемая.

Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
}}

=33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов=

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:
{{Теорема
|author=
Леви
|statement=
Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
}}

{{Лемма
|about=
следствие о ряде из интегралов
|statement=
Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> на и измеримы на <tex> E </tex>, и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится. Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E </tex>.
}}

=34. Теорема Фату=

{{Теорема
|author=
Фату
|statement=
Пусть измеримые <tex> f_n </tex>  неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>.
}}

=35. Неравенства Гельдера и Минковского=

<tex> \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдера для интегралов.
<tex> ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p </tex> — неравенство Минковского для интегралов (полуаддитивность).

=36. Пространства, полнота=

<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E  {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>. 

{{Теорема
|statement=
<tex> L_p(E) </tex> — линейное пространство.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — нормированное пространство.
}}

{{Теорема
|about=
о полноте
|statement=
<tex> L_p(E) </tex> — полное.
}}

=37. Всюду плотность множества С в пространствах=

{{Теорема
|statement=
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
|proof=
}}


{{Теорема
|statement=
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
|proof=
}}

=38. Мера цилиндра=

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f </tex> — измерима.<br>

<tex> G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — '''подграфик функции'''.
}}

Если <tex> f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 </tex> на <tex> E </tex>, то подграфик называется цилиндром в <tex> \mathbb R^{n + 1} </tex>.

{{Утверждение
|statement=
<tex> G </tex> - цилиндр высоты <tex>c \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.
}}

=39. Мера подграфика=

{{Теорема
|about=
о мере подграфика
|statement=
Если <tex> f(x) \ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, то её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>.
}}

=40. Вычисление меры множества посредством его сечений=

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>

Тогда:
# <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.
# <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция.
# <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1  </tex>
}}

=41. Теорема Фубини=

{{Теорема
|author=
Фубини
|statement=
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R </tex> — измерима.

<tex> \int\limits_E |f| d \lambda_2 < + \infty </tex> (<tex> f </tex> — суммируема).

Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)
}}

=42. Восстановление первообразной по ограниченной производной=

{{Теорема
|statement=

Пусть задана дифференциируемая функция <tex>F(x)</tex> на интервале <tex>[a,b)</tex>, производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная <tex>f(x) = F'(x)</tex> - измерима на <tex>[a;b)</tex> и выполняется равенство <tex>F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt</tex>
}}

=43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману=

{{Теорема
|author=
Лебег
|statement=
<tex>f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f </tex> почти всюду непрерывна на <tex>(a,b)</tex>
}}