Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(28. Определение интеграла от суммируемой функции)
(41. Критерий Лебега интегрируемости по Риману)
 
(не показано 14 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 +
 
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
 
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
+
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). <tex>\mathcal R</tex> называется '''полукольцом''' множеств из <tex>X</tex>, если:
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
 
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
 
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
Строка 14: Строка 16:
  
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
 
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
+
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно дополнения)
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>
+
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cup C \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно объединения)
  
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств
+
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> объединения счетного числа множеств
 
}}
 
}}
  
Строка 28: Строка 30:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
+
Пусть <tex> \mathcal R </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
  
 
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
 
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность)
+
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-аддитивность)
 
}}
 
}}
 
===Два важных свойства на полукольце:===
 
===Два важных свойства на полукольце:===
Строка 39: Строка 41:
 
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
 
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
  
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'')
+
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'')
  
 
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
 
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
Строка 51: Строка 53:
 
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
 
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
  
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
+
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность)
 
}}
 
}}
  
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
+
Пусть заданы полукольцо <tex> \mathcal R </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
  
 
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
 
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
Строка 222: Строка 224:
  
 
//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}.
 
//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}.
 +
: А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к <tex> f </tex>, то она будет сходиться почти всюду и к любой функции <tex>g</tex> такой, что <tex>g \sim f</tex>. А значит, будет сходиться к ней и по мере.
  
 
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
 
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
Строка 344: Строка 347:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Лебег
 
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
+
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 351: Строка 354:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\int\limits_{E}fd\mu < +\infty</tex>}}
+
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup\int\limits_{e}fd\mu < +\infty</tex>, где <tex>e</tex> - '''хорошее множество''', то есть <tex>e \subset E</tex>, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>.
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если на нём суммируемы <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex>.
 
В этом случае, <tex> \int\limits_E f \underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- </tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 392: Строка 390:
 
о мажорируемой сходимости
 
о мажорируемой сходимости
 
|statement=
 
|statement=
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — измеримая.
+
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — суммируемая.
  
 
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
 
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
Строка 453: Строка 451:
 
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
 
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
  
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}}
+
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
 +
|proof=
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
 +
|proof=
 +
}}
  
 
=38. Мера цилиндра=
 
=38. Мера цилиндра=
Строка 503: Строка 512:
  
 
Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)
 
Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)
 +
}}
 +
 +
=42. Восстановление первообразной по ограниченной производной=
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
 +
Пусть задана дифференциируемая функция <tex>F(x)</tex> на интервале <tex>[a,b)</tex>, производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная <tex>f(x) = F'(x)</tex> - измерима на <tex>[a;b)</tex> и выполняется равенство <tex>F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt</tex>
 +
}}
 +
 +
=43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману=
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=
 +
Лебег
 +
|statement=
 +
<tex>f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f </tex> почти всюду непрерывна на <tex>(a,b)</tex>
 
}}
 
}}

Текущая версия на 01:51, 29 января 2014


Содержание

1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)[править]

Определение:
Пусть [math] X [/math] — некоторое множество, [math] \mathcal R [/math] — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). [math]\mathcal R[/math] называется полукольцом множеств из [math]X[/math], если:
  1. [math] \varnothing \in \mathcal R [/math]
  2. [math] A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R [/math] (замкнутость относительно пересечения)
  3. [math] A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing [/math] для [math] i \ne j [/math] (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).


Определение:
Пусть [math] X [/math] — некоторое множество, [math] \mathcal A [/math] — совокупность его подмножеств. [math] \mathcal A [/math]алгебра, если:
  1. [math] \varnothing \in \mathcal A [/math]
  2. [math] B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A [/math] (замкнутость относительно дополнения)
  3. [math] B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cup C \in \mathcal A [/math] (замкнутость относительно объединения)
[math] \mathcal A [/math] называется σ-алгеброй (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности [math] \mathcal A [/math] объединения счетного числа множеств


Примеры:


TODO: дописать: чего-нить по теме

2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства[править]

Определение:
Пусть [math] \mathcal R [/math] — полукольцо. [math] m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}[/math] называется мерой на нем, если:
  1. [math] m(\varnothing) = 0 [/math]
  2. Для дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R [/math] и [math] A \in \mathcal R [/math], такого, что [math] A = \bigcup\limits_{n} A_n [/math], [math] m(A) = \sum\limits_n m(A_n) [/math] ([math]\sigma[/math]-аддитивность)

Два важных свойства на полукольце:[править]

Пусть [math] m [/math] — мера на полукольце [math] \mathcal R [/math], тогда:

1) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]\bigcup\limits_{n} A_n \subset A [/math] выполняется [math] \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) [/math]

2) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]A \subset \bigcup\limits_{n} A_n [/math] выполняется [math] m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) [/math] ([math]\sigma[/math]-полуаддитивность)

Замечание: в случае [math] n = 1[/math] второе свойство [math]A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) [/math] называют монотоностью меры.

3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце[править]

Определение:
Внешняя мера на множестве [math] X [/math] - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств [math] X [/math], и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) [math] \mu^* (\varnothing) = 0 [/math]

2) Для [math] A \subset \bigcup\limits_n A_n [/math] выполняется [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) [/math] ([math]\sigma[/math]-полуаддитивность)


Пусть заданы полукольцо [math] \mathcal R [/math] из [math]X[/math] и мера [math] m [/math] на нем. Тогда для любого множества [math] A \subset X [/math]:

1) Полагаем [math] \mu^*(A) = + \infty [/math], если [math] A [/math] нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.

2) Полагаем [math] \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) [/math], в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий [math] A [/math] из полукольца [math] \mathcal R [/math].

Теорема:
Определенная нами [math] \mu^* [/math] является корректной внешней мерой на [math] X [/math], при этом, для [math] A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) [/math].

4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы[править]

Определение:
Пусть есть множество [math] X [/math] и внешняя мера [math] \mu^* [/math] на нем, и множества [math] A, B [/math] являются подмножествами [math] X [/math]. Множество [math] A [/math] хорошо разбивает множество [math] B [/math], если [math] \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) [/math].


Определение:
Множество [math]A \in X[/math] называется μ*-измеримым, если оно хорошо разбивает всякое множество [math]E \in X[/math].


5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы[править]

Теорема (Каратеодори):
Пусть построения [math](X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)[/math] были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда:
  1. [math]\mathcal{R} \subset \mathcal{A}[/math]
  2. [math]\mu|_\mathcal{R} = m[/math]

6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори[править]

[math](m, \mathcal{R}) \to \mu^* \to (\mu, \mathcal{A}) \to \nu^*[/math].

Построим [math]\nu^*[/math] — внешнюю мера для [math](\mu, \mathcal{A})[/math]. Возникает вопрос: "Построили ли мы что-то новое?"

Теорема:
[math]\mu^*=\nu^*[/math] (повторное применение процесса Каратеодори не приводит нас к новой мере).

7. Критерий мю*-измеримости[править]

Утверждение (Критерий [math]\mu[/math]-измеримости):
Пусть [math]E\subset X[/math]. Тогда [math]E[/math]-измеримо [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon \gt 0[/math] [math] \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(B_\varepsilon\setminus A_\varepsilon) \lt \varepsilon[/math]

8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства[править]

Определение:
[math]\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}[/math]


Определение:
[math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math] — объём прямоугольника
Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек, [math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi[/math](прямоугольник), тогда [math]v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math].
Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек и [math]\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi[/math]. Тогда [math]v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]
Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] — прямоугольники, [math]\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j[/math]. Тогда [math]v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]

9. Объем, как мера на полукольце ячеек[править]

Теорема:
Объём ячейки — [math]\sigma[/math]-аддитивная функция на [math]\mathcal{R}[/math], то есть, мера на этом множестве.

10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)[править]

TODO: дописать: чего-нить по теме

11. Теорема о внешней мере в R^n[править]

Теорема:
Пусть [math] E \subset \mathbb R ^n [/math]. Тогда [math] \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G [/math] ([math] G [/math] - открытые множества).


TODO: дописать: чего-нить по теме

12. Структура измеримого по Лебегу множества[править]

Теорема:
Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде [math] E = A \cup B [/math], причем A - множество типа [math] F_{\sigma} [/math], а [math] \lambda B = 0[/math].

13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега[править]

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math], считаем, что мера [math] \mu [/math][math] \sigma [/math]-конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math], будем обозначать как [math] E ( P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math], для которых свойство [math] P [/math] верно.


Определение:
[math] a \in \mathbb R [/math], [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math]множества Лебега функции [math] f [/math].


Определение:
[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-алгебре).


Утверждение (Измеримость по Лебегу):
Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \Leftrightarrow [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.

14. Арифметика измеримых функций[править]

Теорема:
Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math]. Тогда

1) [math]|f|[/math] — измерима
1.5) [math]kf[/math] — измеримо ([math]k \in \mathbb{R}[/math])
2) [math]f^2[/math] — измеримо
3) [math]f + g[/math] — измеримо

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

15. Измеримость поточечного предела измеримых функций[править]

Утверждение:
Пусть [math]E[/math] измеримо, [math]f_n : E \to \mathbb{R}[/math], [math]f_n[/math] — измеримо на [math]E[/math], [math]\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)[/math] Тогда [math]f[/math] тоже измеримо на [math]E[/math].

16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду[править]

Определение:
Пусть заданы функции [math]f_n, f[/math] на [math]E[/math], [math]E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}[/math]. Если [math]\mu E' = 0[/math], то [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].


Определение:
Две функции [math]f[/math] и [math]g[/math], определённые на множестве [math]E \in X[/math], называются эквивалентными на этом множестве, если [math]f(x) = g(x)[/math] почти всюду.


Утверждение:
Пусть [math]f_n[/math] — измеримо, [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f[/math] — измерима.

17. Предел по мере и его единственность[править]

Пусть функции [math]f_n, f[/math] — измеримы на [math]E[/math], множества [math]E(|f_n - f| \geq \delta)[/math], где [math]\delta \gt 0[/math], измеримы.


Определение:
[math]f_n[/math] стремятся по мере на [math]E[/math] к [math]f[/math] ([math]f_n\stackrel{[E]}{\Rightarrow} f[/math]), если [math]\forall\delta\gt 0 : \mu E(|f_n - f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0[/math]


В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.

//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то TODO: добавить.

А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к [math] f [/math], то она будет сходиться почти всюду и к любой функции [math]g[/math] такой, что [math]g \sim f[/math]. А значит, будет сходиться к ней и по мере.

18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере[править]

Теорема (Лебег):
[math]\mu E\lt +\infty[/math], [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} f[/math].

19. Теорема Рисса[править]

Теорема (Фердинанд Рисс):
Пусть последовательность функций сходится по мере к функции [math]f[/math] на [math]E[/math]. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на [math]E[/math].

20. Теорема Егорова[править]

Теорема (Егоров):
Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда, для любого [math]\delta \gt 0: \exists E'' \subset E[/math], [math]\mu E'' \gt \mu E - \delta[/math], [math]f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f[/math]
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.

21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше[править]

Теорема (Лузин):
[math]E \subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] по мере Лебега. Тогда [math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \varphi[/math] — непрерывная на [math]\mathbb{R}^n[/math], [math]\lambda_nE(f\ne\varphi)\lt \varepsilon[/math]

Это принято называть [math]C[/math]-свойством Лузина.

Если, помимо всего прочего, [math]f(x)[/math] ограничена [math]M[/math] на [math]E[/math], то [math]\varphi[/math] можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на [math]\mathbb{R}^n[/math].

Теорема (Фреше):
[math]E\subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math]. Тогда [math]\exists\varphi_n[/math] — последовательность непрерывных на [math]\mathbb{R}^n[/math] функций, такая, что [math]\varphi_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега[править]

Есть [math](X, \mathcal{A}, \mu)[/math]. Далее, мы всегда предполагаем, что [math]\mu[/math][math]\sigma[/math]-конечная и полная.

Пусть [math]E[/math] — измеримое множество ([math]E \in \mathcal{A}[/math]), [math]f : E \to \mathbb{R}[/math], [math]\forall x \in E : |f(x)| \leq M[/math], [math]\mu E \lt +\infty[/math].

Разобьём [math]E[/math] на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:

[math]E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p[/math] — дизъюнктные и измеримые. [math]\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}[/math] — разбиение.

Строим системы чисел [math]m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)[/math], [math]M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)[/math], они конечны.


Определение:
Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу — [math]\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p[/math], [math]\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p[/math]. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.


Определение:
[math]\tau_1, \tau_2[/math] — разбиения. Если любой отрезок [math] e \in \tau_1[/math] содержится в каком-то отрезке [math]e' \in \tau_2[/math], то [math]\tau_1[/math] мельче [math]\tau_2[/math], [math]\tau_1 \leq \tau_2[/math].


Лемма:
1. [math]\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math]

2. [math]\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)[/math], [math]\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

3. [math]\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

Тогда, если определить [math]\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)[/math], [math]\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)[/math], то из леммы следует: [math]\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)[/math].


Определение:
Если [math]\underline{L} = \overline{L}[/math], то [math]f[/math] — интегрируема по Лебегу на [math]E[/math], общее значение этих чисел — интеграл Лебега, [math]\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu[/math].


Теорема:
[math]f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}[/math]. Иначе говоря, существует интеграл Лебега [math]\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx[/math].

23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции[править]

Пусть [math]E[/math] - произвольное измеримое множество, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math] - измеримая функция.

Рассмотрим набор множеств [math] e [/math], такой, что [math]e \in E[/math] - измеримо, [math]\mu e \lt +\infty[/math], [math]f[/math] - ограничена на [math]e[/math]. В такой ситуации существует [math]\int \limits_{e} f d\mu[/math] — интеграл Лебега.


Определение:
[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если [math]\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = \int \limits_{E} f d\mu[/math] — интеграл по [math]E[/math].


24. Счетная аддитивность интеграла[править]

Теорема:
Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: [math]E = \bigcup \limits_{n} E_n[/math]. [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math]. Тогда [math]\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math].

25. Абсолютная непрерывность интеграла[править]

Теорема (Абсолютная непрерывность):
Пусть [math] f [/math] — суммируема на [math] E [/math]. Тогда [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0: \mu A \lt \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| \lt \varepsilon [/math]

26. Арифметические свойства интеграла Лебега[править]

Теорема ([math]\sigma[/math]-аддитивность интеграла):
Пусть существует [math] \int\limits_E fd\mu[/math], [math]E = \bigcup\limits_n E_n[/math] — измеримы и дизъюнктны. Тогда [math] \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_{E_n} fd\mu [/math].
Утверждение (линейность интеграла):
Пусть [math]\exists\int f, \int g[/math], [math]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/math]. Тогда [math]\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu[/math].

27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла[править]

Теорема (Лебег):
Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n[/math], [math]f[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math]|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n[/math] на [math]E[/math]. Если [math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math], тогда [math]\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f[/math].

28. Определение интеграла от суммируемой функции[править]

Определение:
[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если [math]\sup\int\limits_{e}fd\mu \lt +\infty[/math], где [math]e[/math] - хорошее множество, то есть [math]e \subset E[/math], [math]\mu e \lt +\infty[/math], [math]f[/math] - ограничена на [math]e[/math].


29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций[править]

Теорема:
Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: [math]E = \bigcup \limits_{n} E_n[/math]. [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math]. Тогда [math]\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math].

30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций[править]

(Конечно долго, но кто хочет - исправьте) [math]\sigma[/math]-аддитивность позволяет переносить на любые [math]f \ge 0[/math] стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность. Действительно, [math] \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g[/math] для [math]f, g \ge 0[/math]:

Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем [math]E[/math] на измеримые, дизъюнктные множества. [math]E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f \lt n)[/math]. Аналогично, [math]E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g \lt n)[/math].

После этого, [math]E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p[/math]. За счет [math]\sigma[/math]-конечности меры, можно считать, что [math]\forall p: \mu B_p \lt +\infty[/math].

За счет [math]\sigma[/math]-аддитивности интеграла от неотрицательной функции:

[math]\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g[/math]. Получили линейность.

31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака[править]

Так как [math] \int\limits_E [/math] определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также [math] \sigma [/math]-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для [math] f_+, f_- [/math] и сложить.

32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости[править]

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):
Пусть на [math] E \subset X [/math] задана последовательность измеримых функций [math] f_n [/math], таких, что [math] |f_n(x)| \le \varphi(x) [/math] почти всюду, где [math] \varphi [/math] — суммируемая.

Пусть [math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math] (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].

33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов[править]

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:

Теорема (Леви):
Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и [math] f_n(x) \le f_{n+1}(x) [/math]. [math] f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) [/math] — почти везде конечна на [math] E [/math]. Тогда [math] \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].
Лемма (следствие о ряде из интегралов):
Пусть [math] u_n(x) \ge 0 [/math] на и измеримы на [math] E [/math], и [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n [/math] — сходится. Тогда [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) [/math] сходится почти всюду на [math] E [/math].

34. Теорема Фату[править]

Теорема (Фату):
Пусть измеримые [math] f_n [/math] неотрицательны на [math] E [/math] и сходятся на [math] E [/math] по мере к функции [math] f [/math]. Тогда [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n [/math].

35. Неравенства Гельдера и Минковского[править]

[math] \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q [/math] — неравенство Гёльдера для интегралов. [math] ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p [/math] — неравенство Минковского для интегралов (полуаддитивность).

36. Пространства, полнота[править]

[math] L_p(E) = \{f [/math] - измерима на [math] E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu \lt + \infty \} [/math], то есть пространство функций, суммируемых с [math] p [/math]-ой степенью на [math] E [/math]. Измеримость [math] f [/math] на [math] E [/math] принципиальна, так как в общем случае из измеримости [math] |f|^p [/math] не вытекает измеримость [math] f [/math].

Теорема:
[math] L_p(E) [/math] — линейное пространство.
Теорема:
[math] L_p(E) [/math] с нормой, определенной как [math] ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} [/math] — нормированное пространство.
Теорема (о полноте):
[math] L_p(E) [/math] — полное.

37. Всюду плотность множества С в пространствах[править]

Теорема:
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math]


Теорема:
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math]

38. Мера цилиндра[править]

Определение:
Пусть [math] E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f [/math] — измерима.
[math] G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} [/math]подграфик функции.


Если [math] f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 [/math] на [math] E [/math], то подграфик называется цилиндром в [math] \mathbb R^{n + 1} [/math].

Утверждение:
[math] G [/math] - цилиндр высоты [math]c \ge 0 [/math], измеримое [math] E \subset \mathbb R^n [/math] — основание. Тогда он измерим и при [math] c \gt 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math], при [math] c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 [/math].

39. Мера подграфика[править]

Теорема (о мере подграфика):
Если [math] f(x) \ge 0 [/math] и измерима на множестве [math] E \in \mathbb R^n [/math], то её подграфик [math] G(f) [/math] — измерим, а [math] \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n [/math].

40. Вычисление меры множества посредством его сечений[править]

Теорема:
Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E \lt + \infty [/math]

Тогда:

  1. [math] \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) [/math] — измеримое множество.
  2. [math] \lambda_1(E(x_1)) [/math] — измеримая на [math] \mathbb R [/math] функция.
  3. [math] \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 [/math]

41. Теорема Фубини[править]

Теорема (Фубини):
Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R [/math] — измерима.

[math] \int\limits_E |f| d \lambda_2 \lt + \infty [/math] ([math] f [/math] — суммируема).

Тогда для почти всех [math] x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) [/math] будет суммируемой на [math] E(x_1) [/math] и [math] \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 [/math] (формула повторного интегрирования)

42. Восстановление первообразной по ограниченной производной[править]

Теорема:
Пусть задана дифференциируемая функция [math]F(x)[/math] на интервале [math][a,b)[/math], производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная [math]f(x) = F'(x)[/math] - измерима на [math][a;b)[/math] и выполняется равенство [math]F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt[/math]

43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману[править]

Теорема (Лебег):
[math]f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f [/math] почти всюду непрерывна на [math](a,b)[/math]