Редактирование: Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
== 1 A* и его ограниченность ==
+
== 1 <tex> A^* </tex> и его ограниченность ==
 
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
 
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
  
Строка 21: Строка 21:
  
 
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
 
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}
 
 
{{Утверждение
 
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 32: Строка 28:
 
}}
 
}}
  
== 4 Ортогональное дополнение R(A*) ==
+
== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies  R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
 
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies  R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
Строка 54: Строка 50:
 
}}
 
}}
  
== 10 (year2012) О компактности А* ==
+
== 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) ==
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement =
 +
Пусть <tex> A </tex> ­— компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement =
 +
<tex>A</tex> - компактен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактен
 +
}}
 +
 
 +
== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex> C(K) </tex> - совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. <tex> \| f \| = \max\limits_{x \in K} | f(x) | </tex>
+
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
 
}}
 
}}
{{Теорема
+
 
|author=Арцело-Асколи
+
Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.
 +
 
 +
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.
 +
 
 +
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
\\TODO
+
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
 
}}
 
}}
 +
 +
== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 +
|about=
 +
почти конечномерность компактного оператора
 
|statement=
 
|statement=
<tex> A </tex> компактен <tex> \implies A^* </tex> компактен.
+
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:
 +
 
 +
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
 +
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 91: Строка 110:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> E </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
+
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = E \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
+
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 118: Строка 137:
 
}}
 
}}
  
== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A ==
+
== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
 
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
Строка 145: Строка 164:
 
== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством  чисел m- и m+ ==
 
== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством  чисел m- и m+ ==
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
+
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
 +
 
 +
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
 
}}
 
}}
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Пусть A — самосопряженный оператор
+
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
 
 
1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
 
  
 
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
 
2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
Строка 157: Строка 176:
 
== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
 
== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
+
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 163: Строка 182:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Гильберт, Шмидт
 
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
+
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 169: Строка 188:
 
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>
 
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>
  
==Теорема Банаха о сжимающем отображении==
+
== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
 +
{{Теорема
 +
|about=Локальная теорема о простой итерации
 +
|statement=
 +
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.
  
{{Определение
+
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
|definition=Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется '''сжатием''' на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>.
+
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
}}
+
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
 
 
{{Теорема
 
|statement=(''Банаха о неподвижной точке'')
 
Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка.
 
 
}}
 
}}
[[Теорема Банаха о неподвижной точке]]
 
 
==Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.==
 
 
Рассмотрим <tex>T : V_r(x_0) \to Y</tex>, где <tex>V_r(x_0) \subset X</tex> и, кроме того, <tex>X, Y</tex> - нормированные пространства.
 
 
Пусть <tex>\|\delta x \| < r</tex>. Тогда, очевидно, <tex>x + \delta x \in V_r(x_0)</tex>.
 
 
Обозначим <tex>\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) - T(x_0)</tex>.
 
 
'''Def.''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(X,Y)</tex> такой, что <tex>\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o(\delta x)</tex> несёт следующий смысл: <tex>\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0</tex>.
 
 
Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. Подчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(x_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' - x)</tex>.
 
 
'''Lm.''' (''Неравенство Лагранжа'')
 
Пусть <tex>X, Y</tex> -- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|</tex>.
 
 
==Локальная теорема о неявном отображении==
 
 
'''Th.'''(''о неявном отображении'')
 
 
Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex>, и задан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>.
 
 
Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>.
 
 
Пусть <tex> \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>.
 
 
Пусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> - непрерывно обратим.
 
 
'''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \in V_{\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex> .
 
 
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении
 
  
 
== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
 
== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
Строка 244: Строка 231:
  
 
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
 
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}
+
}}  
 
 
== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==
 
 
 
{{Утверждение
 
|statement =
 
Пусть <tex> A </tex> ­— компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
 
}}
 
 
 
{{Утверждение
 
|statement =
 
<tex>A</tex> — компактен <tex>\implies</tex> <tex>A^*</tex> — компактен
 
}}
 
 
 
== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
 
{{Определение
 
|definition=
 
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
 
}}
 
 
 
Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.
 
 
 
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.
 
 
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
 
}}
 
 
 
== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
 
{{Теорема
 
|about=
 
почти конечномерность компактного оператора
 
|statement=
 
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:
 
 
 
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
 
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
 
}}
 
== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
 
{{Теорема
 
|about=Локальная теорема о простой итерации
 
|statement=
 
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.
 
 
 
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
 
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
 
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
 
}}
 
 
 
  
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)