Редактирование: Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

== 1 A* и его ограниченность ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. 

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}

== 2 Ортогональные дополнения <tex> E </tex> и <tex> E^* </tex> ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
}}

== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
}}

== 4 Ортогональное дополнение R(A*) ==
{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies  R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
}}

== 5 Арифметика компактных операторов ==
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>. 
}}
{{Утверждение
|statement = 
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
}}

== 10 (year2012) О компактности А* ==
{{Определение
|definition=
<tex> C(K) </tex> - совокупность функций непрерывных на метрическом компакте K с равномерной нормой, т.е. <tex> \| f \| = \max\limits_{x \in K} | f(x) | </tex>
}}
{{Теорема
|author=Арцело-Асколи
|statement=
\\TODO
}}
{{Теорема
|statement=
<tex> A </tex> компактен <tex> \implies A^* </tex> компактен.
}}

== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
}}

== 10 Замкнутость R(I-A)  компактного A ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
}}

== 11 Лемма о Ker(I-A)^n  компактного A ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
}}

== 12 Условие справедливости  равенства  R(I-A)=E ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> E </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = E \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
}}

== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
}}

== 14 Спектр компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. 

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
}}

== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)I-A ==
{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
}}
<tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>

<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>

== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
}}

== 17 Критерий включения в резольвентное  множество ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
}}

== 18 Критерий включения в спектр  ограниченного самосопряженного оператора ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
<tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
}}

== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством  чисел m- и m+ ==
{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle, m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}
{{Теорема
|statement=1. <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>

2. <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
}}

== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
}}

== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
}}

== 22 Разложение резольвенты компактного  самосопряженного оператора. ==
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>

==Теорема Банаха о сжимающем отображении==

{{Определение
|definition=Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется '''сжатием''' на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=(''Банаха о неподвижной точке'')
Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка.
}}
[[Теорема Банаха о неподвижной точке]]

==Дифференцирование отображений, неравенство Лагранжа.==

Рассмотрим <tex>T : V_r(x_0) \to Y</tex>, где <tex>V_r(x_0) \subset X</tex> и, кроме того, <tex>X, Y</tex> - нормированные пространства.

Пусть <tex>\|\delta x \| < r</tex>. Тогда, очевидно, <tex>x + \delta x \in V_r(x_0)</tex>.

Обозначим <tex>\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) - T(x_0)</tex>.

'''Def.''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(X,Y)</tex> такой, что <tex>\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o(\delta x)</tex> несёт следующий смысл: <tex>\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0</tex>.

Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. Подчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(x_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' - x)</tex>.

'''Lm.''' (''Неравенство Лагранжа'')
Пусть <tex>X, Y</tex> -- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|</tex>.

==Локальная теорема о неявном отображении==

'''Th.'''(''о неявном отображении'')

Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex>, и задан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>.

Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>. 

Пусть <tex> \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>.

Пусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> - непрерывно обратим.

'''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \in V_{\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex> .

http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Локальная_теорема_о_неявном_отображении

== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}

== 25 Проекторы Шаудера ==
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases} 
0                           & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases} 
</tex>

<tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>
{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. 

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==

{{Утверждение
|statement = 
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}

{{Утверждение
|statement = 
<tex>A</tex> — компактен <tex>\implies</tex> <tex>A^*</tex> — компактен
}}

== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство. 

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}

== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}
== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>
}}


[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]