Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(4 Ортогональное дополнение R(A^*).)
(убрал тех из заголовков, а то он не отображается в TOC)
Строка 1: Строка 1:
== 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. ==
+
== 1 A^* и его ограниченность ==
 
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
 
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
  
Строка 13: Строка 13:
 
}}
 
}}
  
== 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. ==
+
== 2 Ортогональные дополнения E и E^* ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 23: Строка 23:
 
}}
 
}}
  
== 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. ==
+
== 3 Ортогональное дополнение R(A) ==
 
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>
 
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>
  
Строка 32: Строка 32:
 
}}
 
}}
  
== 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. ==
+
== 4 Ортогональное дополнение R(A^*) ==
 
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>
 
Пусть оператор <tex> A^* </tex> действует из <tex> E^* </tex> в <tex> F^* </tex>
  
Строка 41: Строка 41:
 
}}
 
}}
  
== 5 Арифметика компактных операторов. ==
+
== 5 Арифметика компактных операторов ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 59: Строка 59:
 
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}
 
{{TODO|t=Что-то еще нужно добавить?}}
  
== 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. ==
+
== 6 О компактности A^*, сепарабельность R(A) ==
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 66: Строка 66:
 
}}
 
}}
  
== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. ==
+
== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 81: Строка 81:
 
}}
 
}}
  
== 8 Почти конечномерность компактного оператора. ==
+
== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Строка 92: Строка 92:
 
}}
 
}}
  
== 9 Размерность <tex>\operatorname{Ker}(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
+
== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Строка 98: Строка 98:
 
}}
 
}}
  
== 10 Замкнутость <tex>R(I-A)</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
+
== 10 Замкнутость R(I-A)  компактного A ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Строка 104: Строка 104:
 
}}
 
}}
  
== 11 Лемма о <tex>\operatorname{Ker}(I-A)^n</tex> компактного <tex>A</tex>. ==
+
== 11 Лемма о Ker(I-A)^n  компактного A ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Строка 111: Строка 111:
 
}}
 
}}
  
== 12 Условие справедливости  равенства  <tex>R(I-A)=E</tex>. ==
+
== 12 Условие справедливости  равенства  R(I-A)=E ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Строка 118: Строка 118:
 
}}
 
}}
  
== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера. ==
+
== 13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Строка 128: Строка 128:
 
}}
 
}}
  
== 14 Спектр компактного оператора. ==
+
== 14 Спектр компактного оператора ==
 
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.  
 
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.  
  
Строка 141: Строка 141:
 
}}
 
}}
  
== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для <tex>(a+ib)I-A</tex>. ==
+
== 15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A) ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
 
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>
Строка 149: Строка 149:
 
<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>
 
<tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>
  
== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора. ==
+
== 16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
 
|statement=Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны
 
}}
 
}}
  
== 17 Критерий включения в резольвентное  множество ограниченного самосопряженного оператора. ==
+
== 17 Критерий включения в резольвентное  множество ограниченного самосопряженного оператора ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
 
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
Строка 160: Строка 160:
 
}}
 
}}
  
== 18 Критерий включения в спектр  ограниченного самосопряженного оператора. ==
+
== 18 Критерий включения в спектр  ограниченного самосопряженного оператора ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
 
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда
Строка 166: Строка 166:
 
}}
 
}}
  
== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством  чисел <tex>m-</tex>  и <tex>m+</tex>. ==
+
== 19 Локализация спектра с.с. оператора посредством  чисел m- и m+ ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
 
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
Строка 178: Строка 178:
 
}}
 
}}
  
== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма. ==
+
== 20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
 
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
 
}}
 
}}
  
== 21 Теорема Гильберта-Шмидта. ==
+
== 21 Теорема Гильберта-Шмидта ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Гильберт, Шмидт
 
|author=Гильберт, Шмидт
Строка 192: Строка 192:
 
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>
 
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>
  
== 23 Локальная сходимость метода простой итерации. ==
+
== 23 Локальная сходимость метода простой итерации ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=Локальная теорема о простой итерации
 
|about=Локальная теорема о простой итерации
Строка 203: Строка 203:
 
}}
 
}}
  
== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений. ==
+
== 24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений ==
 
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
 
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 209: Строка 209:
 
}}
 
}}
  
== 25 Проекторы Шаудера. ==
+
== 25 Проекторы Шаудера ==
 
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.
 
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.
  
Строка 227: Строка 227:
 
}}
 
}}
  
== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке. ==
+
== 26 Теорема Шаудера о неподвижной точке ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Шаудер
 
|author=Шаудер

Версия 10:00, 11 июня 2013

Содержание

1 A^* и его ограниченность

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].

Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].

Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].

[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math]сопряженный оператор к [math] A [/math].

Теорема:
Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

2 Ортогональные дополнения E и E^*

Определение:
Пусть [math] E [/math] — НП, [math] S \subset E^* [/math].

[math] S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} [/math]ортогональное дополнение [math] S [/math].

Аналогично, если [math] T \subset E [/math], то [math] T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} [/math].


3 Ортогональное дополнение R(A)

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math]

[math](R(A))^{\bot} = \{ f \in F^* \mid \forall x \in E: f(Ax) = 0\} [/math]

Теорема:
[math] A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp [/math].

4 Ортогональное дополнение R(A^*)

Пусть оператор [math] A^* [/math] действует из [math] E^* [/math] в [math] F^* [/math]

[math](R(A^*))^{\bot} = \{ x \in F \mid \forall f \in E^*: A^*(f)(x) = 0\} [/math]

Теорема:
[math] A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp [/math].

5 Арифметика компактных операторов

Определение:
Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно


Определение:
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное подмножество [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math].
Утверждение:
[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда:
  1. Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный.
  2. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.

TODO: Что-то еще нужно добавить?

6 О компактности A^*, сепарабельность R(A)

Утверждение:
Пусть [math] A [/math] ­— компактный, тогда [math] R(A) [/math] — сепарабельно (то есть, в [math] R(A) [/math] существует счетное всюду плотное подмножество).

7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве

Определение:
Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math].


Определим [math]F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}[/math] — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, [math]F[/math] можно превратить в НП, определив норму как [math]\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|[/math].

Утверждение:
Пространство [math] F [/math] относительно этой нормы — банахово.

8 Почти конечномерность компактного оператора

Теорема (почти конечномерность компактного оператора):
Если [math]X[/math] — банахово пространство с базисом Шаудера, [math]A:X \to X[/math] — компактный, то для всех [math]\varepsilon \gt 0[/math] существует разложение оператора [math]A[/math] в сумму двух компактных операторов: [math]A = A_1 + A_2[/math] такое, что:
  1. [math]\operatorname{dim}(R(A_1)) \lt +\infty[/math]
  2. [math]\|A_2\| \lt \varepsilon[/math]

9 Размерность Ker(I-A) компактного A

Утверждение:
[math]A[/math] — компактный оператор. Тогда [math]\dim\operatorname{Ker}(I-A) \lt + \infty[/math]

10 Замкнутость R(I-A) компактного A

Теорема:
Пусть [math]T = I - A[/math], [math]A[/math] компактен, тогда [math] R(T) [/math] замкнуто.

11 Лемма о Ker(I-A)^n компактного A

Утверждение:
Пусть [math] M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N[/math], [math] A [/math] — компактный оператор. Тогда [math] \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} [/math].

12 Условие справедливости равенства R(I-A)=E

Утверждение:
Пусть [math] A [/math] — компактный оператор на банаховом [math] X [/math], [math] T = I - A [/math]. Тогда [math] R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} [/math].

13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера

Теорема (альтернатива Фредгольма-Шаудера):
Пусть [math]A:X \to X[/math] — компактный оператор и [math]T = A - \lambda I[/math]. Тогда возможно только две ситуации:
  1. [math]\operatorname{Ker} T = \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо для любого [math]y[/math]
  2. [math]\operatorname{Ker} T \ne \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо только для тех [math]y[/math], которые принадлежат [math](\operatorname{Ker} T^*)^\perp[/math]

14 Спектр компактного оператора

Рассмотрим [math]A - \lambda I[/math].

  1. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}[/math], тогда оператор необратим, и [math]\lambda[/math] — собственное число, то есть [math]\lambda \in \sigma(A)[/math].
  2. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}[/math], тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть [math]\lambda \in \rho(A)[/math].

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

Теорема:
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.

15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для (a+ib)(I-A)

Определение:
Оператор [math]\mathcal{A}[/math] называется самосопряжённым ([math]\mathcal{A} = \mathcal{A}^*[/math]), если [math]\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle[/math]

[math]\lambda \in \mathbb{C}[/math], [math]\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}[/math]

[math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|[/math]

16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора

Утверждение:
Собственные числа самосопряжённого оператора вещественны

17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора

Теорема:
Пусть [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор. Тогда [math]\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m \gt 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|[/math]

18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора

Теорема:
Пусть [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор. Тогда [math]\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 [/math]

19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел m- и m+

Определение:
[math]m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle[/math] [math]m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle[/math]
Теорема:
1. [math]\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+][/math] 2. [math]m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})[/math]

20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма

Утверждение:
Если [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор, то [math]r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|[/math]

21 Теорема Гильберта-Шмидта

Теорема (Гильберт, Шмидт):
Если [math]\mathcal{A}[/math]— самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве [math]\mathcal{H}[/math], а [math]M_{\lambda_i}[/math]— его (оператора) собственные подпространства, то [math]\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots [/math]

22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.

[math]R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n[/math]

23 Локальная сходимость метода простой итерации

Теорема (Локальная теорема о простой итерации):
Пусть известно, что существует [math] \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} [/math] и [math] \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q \lt 1 [/math].

Тогда существует такой шар [math] V_{\delta} (\overline x) [/math], что если [math] x_0 \in V_{\delta} (\overline x) [/math], то:

  • Метод простых итераций корректно определен: [math] \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \le 0[/math].
  • [math] x_n \to \overline x [/math]

24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений

[math] \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)[/math]

Утверждение:
[math] \mathcal{F}'(\overline x) = 0 [/math]

25 Проекторы Шаудера

[math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M [/math] — конечная [math] \varepsilon [/math]-сеть.

Построим следующую функцию: [math] \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: [/math]

[math] \mu_j(y) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\ \varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| \lt \varepsilon \end{cases} [/math]

[math] S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) [/math]

Определение:
[math] P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j [/math]проектор Шаудера.


26 Теорема Шаудера о неподвижной точке

Теорема (Шаудер, о неподвижной точке):
Пусть [math] M [/math] — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства [math] X [/math] и [math] \mathcal{T} [/math] вполне непрерывно отображает [math] M [/math] в себя. Тогда [math] \exists x^* \in M : x^* = Tx^* [/math].