Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(2 Ортогональные дополнения E и E^*.)
(5 Арифметика компактных операторов.)
Строка 26: Строка 26:
 
= 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. =
 
= 4 Ортогональное дополнение <tex>R(A^*)</tex>. =
 
= 5 Арифметика компактных операторов. =
 
= 5 Арифметика компактных операторов. =
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
 +
}}
 +
{{Утверждение
 +
|statement =
 +
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:
 +
 +
# Если <tex> B </tex> ­— ограниченный, <tex> A </tex> ­— компактный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
 +
# Если <tex> B </tex> ­— компактный, <tex> A </tex> ­— ограниченный, то <tex> C </tex> ­— компактный.
 +
}}
 +
 
= 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. =
 
= 6 О компактности <tex>A^*</tex>, сепарабельность <tex>R(A)</tex>. =
 
= 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. =
 
= 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве. =

Версия 22:30, 9 июня 2013

Содержание

1 [math]A^*[/math] и его ограниченность.

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].

Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].

Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].

[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math]сопряженный оператор к [math] A [/math].

Теорема:
Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

2 Ортогональные дополнения [math]E[/math] и [math]E^*[/math].

Определение:
Пусть [math] E [/math] — НП, [math] S \subset E^* [/math].

[math] S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} [/math]ортогональное дополнение [math] S [/math].

Аналогично, если [math] T \subset E [/math], то [math] T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} [/math].


3 Ортогональное дополнение [math]R(A)[/math].

4 Ортогональное дополнение [math]R(A^*)[/math].

5 Арифметика компактных операторов.

Определение:
Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно


Определение:
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное подмножество [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math].
Утверждение:
[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда:
  1. Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный.
  2. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.

6 О компактности [math]A^*[/math], сепарабельность [math]R(A)[/math].

7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.

8 Почти конечномерность компактного оператора.

9 Размерность [math]\operatorname{Ker}(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].

10 Замкнутость [math]R(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].

11 Лемма о [math]\operatorname{Ker}(I-A)^n[/math] компактного [math]A[/math].

12 Условие справедливости равенства [math]R(I-A)=E[/math].

13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера.

14 Спектр компактного оператора.

15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для [math](a+ib)I-A[/math].

16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора.

17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора.

18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора.

19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел [math]m-[/math] и [math]m+[/math].

20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма.

21 Теорема Гильберта-Шмидта.

22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.

23 Локальная сходимость метода простой итерации.

24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений.

25 Проекторы Шаудера.

26 Теорема Шаудера о неподвижной точке.