Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр

Материал из Викиконспекты
Версия от 22:37, 9 июня 2013; 94.25.229.69 (обсуждение) (14 Спектр компактного оператора.)
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 [math]A^*[/math] и его ограниченность.

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].

Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].

Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].

[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math]сопряженный оператор к [math] A [/math].

Теорема:
Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

2 Ортогональные дополнения [math]E[/math] и [math]E^*[/math].

Определение:
Пусть [math] E [/math] — НП, [math] S \subset E^* [/math].

[math] S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} [/math]ортогональное дополнение [math] S [/math].

Аналогично, если [math] T \subset E [/math], то [math] T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} [/math].


3 Ортогональное дополнение [math]R(A)[/math].

4 Ортогональное дополнение [math]R(A^*)[/math].

5 Арифметика компактных операторов.

Определение:
Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно


Определение:
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное подмножество [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math].
Утверждение:
[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда:
  1. Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный.
  2. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.

6 О компактности [math]A^*[/math], сепарабельность [math]R(A)[/math].

Утверждение:
Пусть [math] A [/math] ­— компактный, тогда [math] R(A) [/math] — сепарабельно (то есть, в [math] R(A) [/math] существует счетное всюду плотное подмножество).

7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.

Определение:
Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math].


8 Почти конечномерность компактного оператора.

9 Размерность [math]\operatorname{Ker}(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].

10 Замкнутость [math]R(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].

Теорема:
Пусть [math]T = I - A[/math], [math]A[/math] компактен, тогда [math] R(T) [/math] замкнуто.

11 Лемма о [math]\operatorname{Ker}(I-A)^n[/math] компактного [math]A[/math].

Утверждение:
Пусть [math] M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N[/math], [math] A [/math] — компактный оператор. Тогда [math] \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} [/math].

12 Условие справедливости равенства [math]R(I-A)=E[/math].

13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера.

Теорема (альтернатива Фредгольма-Шаудера):
Пусть [math]A:X \to X[/math] — компактный оператор и [math]T = A - \lambda I[/math]. Тогда возможно только две ситуации:
  1. [math]\operatorname{Ker} T = \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо для любого [math]y[/math]
  2. [math]\operatorname{Ker} T \ne \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо только для тех [math]y[/math], которые принадлежат [math](\operatorname{Ker} T^*)^\perp[/math]

14 Спектр компактного оператора.

Рассмотрим [math]A - \lambda I[/math].

  1. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}[/math], тогда оператор необратим, и [math]\lambda[/math] — собственное число, то есть [math]\lambda \in \sigma(A)[/math].
  2. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}[/math], тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть [math]\lambda \in \rho(A)[/math].

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

Теорема:
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.

15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для [math](a+ib)I-A[/math].

16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора.

17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора.

18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора.

19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел [math]m-[/math] и [math]m+[/math].

20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма.

21 Теорема Гильберта-Шмидта.

22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.

23 Локальная сходимость метода простой итерации.

24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений.

25 Проекторы Шаудера.

26 Теорема Шаудера о неподвижной точке.