Тестовая страница2 — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «№1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty …»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
№1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
 
№1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.  
+
Ряд <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex dpi='100'>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex dpi='100'>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.  
  
 
№2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
 
№2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.
+
Пусть дан ряд <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex dpi='100'> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex dpi='100'> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex dpi='100'> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.
  
 
№3. Теорема Фробениуса
 
№3. Теорема Фробениуса
 
Условие
 
Условие
<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).
+
<tex dpi='100'> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex dpi='100'> \Rightarrow </tex> <tex dpi='100'> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).
  
 
№4. Тауберова теорема Харди
 
№4. Тауберова теорема Харди
 
Условие
 
Условие
<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)
+
<tex dpi='100'>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)
Тогда, если существует такое <tex> M > 0 </tex>, что <tex> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.
+
Тогда, если существует такое <tex dpi='100'> M > 0 </tex>, что <tex dpi='100'> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex dpi='100'> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.
  
 
№5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
 
№5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
<tex>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <tex>f(x)</tex>, если  
+
<tex dpi='100'>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <tex dpi='100'>f(x)</tex>, если  
<tex>\forall \varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
+
<tex dpi='100'>\forall \varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
Пишут, что <tex>f_n \rightrightarrows f</tex>.
+
Пишут, что <tex dpi='100'>f_n \rightrightarrows f</tex>.
  
Пусть на <tex>E</tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
+
Пусть на <tex dpi='100'>E</tex> задан функциональный ряд <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
<tex>f = \sum f_n</tex>, если
+
<tex dpi='100'>f = \sum f_n</tex>, если
<tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
+
<tex dpi='100'>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
  
 
Критерий Коши равномерной сходимости
 
Критерий Коши равномерной сходимости
УсловиеРяд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>  
+
УсловиеРяд равномерно сходится на <tex dpi='100'>E</tex> <tex dpi='100'>\iff</tex> <tex dpi='100'>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>  
  
 
№6. Признак Вейерштрасса
 
№6. Признак Вейерштрасса
 
Условие
 
Условие
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall n \in \mathbb{N} </tex> , <tex> \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> - сходится.
+
<tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex dpi='100'>\forall n \in \mathbb{N} </tex> , <tex dpi='100'> \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> - сходится.
Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex>E</tex>.
+
Тогда <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex dpi='100'>E</tex>.
  
 
№7. Признак типа Абеля-Дирихле
 
№7. Признак типа Абеля-Дирихле
 
Условие
 
Условие
Пусть: * <tex>\exists M: \forall x \in E \quad \forall N \in \mathbb N \quad \left |\sum\limits_{n = 1}^N b_n(x) \right| \le M</tex>
+
Пусть: * <tex dpi='100'>\exists M: \forall x \in E \quad \forall N \in \mathbb N \quad \left |\sum\limits_{n = 1}^N b_n(x) \right| \le M</tex>
* <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad \forall n > N \quad \forall x \in E \quad |a_n(x)| < \varepsilon;\quad\exists N:\forall n>N\quad a_n \ge a_{n+1}</tex>
+
* <tex dpi='100'>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad \forall n > N \quad \forall x \in E \quad |a_n(x)| < \varepsilon;\quad\exists N:\forall n>N\quad a_n \ge a_{n+1}</tex>
Тогда ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x)b_n(x)</tex> равномерно сходится.
+
Тогда ряд <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x)b_n(x)</tex> равномерно сходится.
  
 
№8. Предельный переход под знаком функционального ряда
 
№8. Предельный переход под знаком функционального ряда
 
Условие
 
Условие
Пусть на множестве <tex>E</tex> заданы функции <tex>f_n</tex>, <tex>a</tex> - предельная точка этого множества и  
+
Пусть на множестве <tex dpi='100'>E</tex> заданы функции <tex dpi='100'>f_n</tex>, <tex dpi='100'>a</tex> - предельная точка этого множества и  
<tex>\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Тогда если <tex>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерно
+
<tex dpi='100'>\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Тогда если <tex dpi='100'>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерно
сходится на <tex>E</tex>, то выполняется равенство :
+
сходится на <tex dpi='100'>E</tex>, то выполняется равенство :
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)</tex>
+
<tex dpi='100'>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)</tex>
  
 
№9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
 
№9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
 
Условие
 
Условие
Пусть <tex> f_{n} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <tex> f </tex> на <tex> [a; b] </tex>. Тогда <tex> f </tex> тоже интегрируема, и
+
Пусть <tex dpi='100'> f_{n} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <tex dpi='100'> f </tex> на <tex dpi='100'> [a; b] </tex>. Тогда <tex dpi='100'> f </tex> тоже интегрируема, и
<tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}  = \int\limits_{a}^{b}f </tex>.
+
<tex dpi='100'> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}  = \int\limits_{a}^{b}f </tex>.
 
Условие
 
Условие
Пусть функциональный ряд состоит из <tex>f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ]</tex> и равномерно сходится на этом отрезке.
+
Пусть функциональный ряд состоит из <tex dpi='100'>f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ]</tex> и равномерно сходится на этом отрезке.
 
Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться:
 
Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться:
<tex>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =  
+
<tex dpi='100'>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =  
 
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx</tex>
 
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx</tex>
  
 
№10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
 
№10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
 
Условие
 
Условие
Пусть на <tex> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
+
Пусть на <tex dpi='100'> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex dpi='100'>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
+
Пусть также <tex dpi='100'>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex dpi='100'>\langle a, b \rangle</tex> и
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
+
<tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex dpi='100'>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex dpi='100'>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
<tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.
+
<tex dpi='100'>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.
  
 
№11. Лемма Абеля
 
№11. Лемма Абеля
 
Условие
 
Условие
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> - сходится.  
+
Пусть для некоторого <tex dpi='100'>x_0</tex> <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> - сходится.  
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится.  
+
Тогда <tex dpi='100'>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится.  
  
 
№12. Теорема о радиусе сходимости
 
№12. Теорема о радиусе сходимости
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> - сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
+
<tex dpi='100'>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> - сходится <tex dpi='100'>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex dpi='100'>R = 0</tex> и <tex dpi='100'>R = \infty</tex>.
 
Условие
 
Условие
Пусть есть ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> и <tex>R</tex> - его радиус сходимости. Тогда
+
Пусть есть ряд <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> и <tex dpi='100'>R</tex> - его радиус сходимости. Тогда
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.
+
1) <tex dpi='100'>|x| < R</tex> <tex dpi='100'>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.
2) <tex>\forall [a; b] \in (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.
+
2) <tex dpi='100'>\forall [a; b] \in (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится.  
+
3) <tex dpi='100'>|x| > R</tex> <tex dpi='100'>\Rightarrow</tex> ряд расходится.  
4) <tex>|x| = R</tex> - неопределённость.  
+
4) <tex dpi='100'>|x| = R</tex> - неопределённость.  
  
 
№13. Вычисление радиуса сходимости
 
№13. Вычисление радиуса сходимости
 
Условие
 
Условие
Пусть есть <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, <tex>R</tex> - его радиус сходимости. Тогда:
+
Пусть есть <tex dpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, <tex dpi='100'>R</tex> - его радиус сходимости. Тогда:
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1} }\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.
+
1) Если <tex dpi='100'>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1} }\right|</tex>, то <tex dpi='100'>R = q</tex>.
2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <tex>R = \frac1q</tex>
+
2) Если <tex dpi='100'>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <tex dpi='100'>R = \frac1q</tex>
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|} }</tex>. <s> Но она сложная и никому не нужна. </s> Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.
+
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex dpi='100'>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|} }</tex>. <s> Но она сложная и никому не нужна. </s> Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.
  
 
№14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
 
№14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Строка 100: Строка 100:
  
 
№16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
 
№16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы  <tex> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>
+
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы  <tex dpi='100'> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>
  
 
№17. Разложение в степенной ряд  показательной и логарифмической функций  
 
№17. Разложение в степенной ряд  показательной и логарифмической функций  
Строка 127: Строка 127:
 
№21. Нормированное пространство: арифметика предела
 
№21. Нормированное пространство: арифметика предела
 
Условие
 
Условие
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
+
Пусть <tex dpi='100'>x_n</tex>, <tex dpi='100'>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex dpi='100'>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex dpi='100'>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex dpi='100'>x_n \rightarrow x</tex>, <tex dpi='100'>y_n \rightarrow y</tex>, <tex dpi='100'>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
 
Тогда:
 
Тогда:
# <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>
+
# <tex dpi='100'>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>
# <tex>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex>
+
# <tex dpi='100'>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex>
# <tex>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>
+
# <tex dpi='100'>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>
  
 
№22. Ряды в банаховых пространствах
 
№22. Ряды в банаховых пространствах
Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.
+
Нормированное пространство <tex dpi='100'>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством''', если для любой последовательности элементов <tex dpi='100'>X</tex>, для которых из <tex dpi='100'>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex dpi='100'>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.
<tex>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex>
+
<tex dpi='100'>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex>
  
 
№23. Унитарные пространства, неравенство Шварца
 
№23. Унитарные пространства, неравенство Шварца
 
Линейное множество со скалярным произведением называется унитарным пространством.
 
Линейное множество со скалярным произведением называется унитарным пространством.
 
утв
 
утв
<tex>|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}</tex>
+
<tex dpi='100'>|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}</tex>
  
 
№24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем
 
№24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем
 
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
 
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:
+
Пусть <tex dpi='100'>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex dpi='100'>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <tex dpi='100'>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex>
+
# <tex dpi='100'>(x, x) \ge 0</tex>, <tex dpi='100'>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex>
# <tex>(x, y) = (y, x)</tex>
+
# <tex dpi='100'>(x, y) = (y, x)</tex>
# <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>
+
# <tex dpi='100'>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>
Базируясь на этом неравенстве, определим норму <tex>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>.  
+
Базируясь на этом неравенстве, определим норму <tex dpi='100'>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>.  
Доказанное неравенство треугольника превращает <tex>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''.
+
Доказанное неравенство треугольника превращает <tex dpi='100'>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''.
  
 
Теорема Бесселя
 
Теорема Бесселя
 
Условие
 
Условие
Пусть <tex> l_1 \dots \l_n \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex> и <tex> x \in H </tex>, тогда  
+
Пусть <tex dpi='100'> l_1 \dots \l_n \dots </tex> - ОНС в <tex dpi='100'> H </tex> и <tex dpi='100'> x \in H </tex>, тогда  
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2</tex>
+
<tex dpi='100'> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2</tex>
Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: <tex>\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2</tex> располагается ближе всего к <tex>\|x\|^2</tex>, если <tex>l_k</tex> — ряд Фурье <tex>x</tex>.
+
Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: <tex dpi='100'>\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2</tex> располагается ближе всего к <tex dpi='100'>\|x\|^2</tex>, если <tex dpi='100'>l_k</tex> — ряд Фурье <tex dpi='100'>x</tex>.
  
 
№25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.
 
№25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.
Ряд <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> является '''ортогональным''', если <tex> \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 </tex>.
+
Ряд <tex dpi='100'> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> является '''ортогональным''', если <tex dpi='100'> \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 </tex>.
В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> - ортогональный ряд.
+
В частности, так как <tex dpi='100'> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex dpi='100'> H </tex>(гильбертово), то <tex dpi='100'> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> - ортогональный ряд.
  
 
Условие
 
Условие
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <tex> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.
+
<tex dpi='100'>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <tex dpi='100'> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.
При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: <tex> \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 </tex>
+
При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: <tex dpi='100'> \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 </tex>
  
 
№26. Принцип сжатия Банаха
 
№26. Принцип сжатия Банаха
Пусть <tex>X</tex> - B-пространство. Пусть <tex>\overline V</tex> - замкнутый шар в <tex>X</tex>.<br>
+
Пусть <tex dpi='100'>X</tex> - B-пространство. Пусть <tex dpi='100'>\overline V</tex> - замкнутый шар в <tex dpi='100'>X</tex>.<br>
<tex> \mathcal{T} : \overline V \to \overline V</tex> - '''сжатие''' на шаре <tex>\overline V</tex>, если <tex>\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V</tex> <tex> : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|</tex>.
+
<tex dpi='100'> \mathcal{T} : \overline V \to \overline V</tex> - '''сжатие''' на шаре <tex dpi='100'>\overline V</tex>, если <tex dpi='100'>\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V</tex> <tex dpi='100'> : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|</tex>.
 
Теорема Банаха
 
Теорема Банаха
У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка <tex>x^*=\mathcal{T}x^*</tex>.
+
У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка <tex dpi='100'>x^*=\mathcal{T}x^*</tex>.
  
 
№27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность
 
№27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>
+
Пусть <tex dpi='100'>X</tex>, <tex dpi='100'>Y</tex> — нормированные пространства, <tex dpi='100'>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex dpi='100'>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex dpi='100'>\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex>
+
Л.о. называется ограниченным, если <tex dpi='100'>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex>
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>
+
Л.о. непрерывен в X, если <tex dpi='100'>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>
 
Условие
 
Условие
 
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
 
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
  
 
№28. Норма линейного оператора
 
№28. Норма линейного оператора
Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>.
+
Нормой ограниченного оператора <tex dpi='100'>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <tex dpi='100'>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>.
  
 
№29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек
 
№29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек
'''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, где <tex> H </tex> - гильбертово пространство.
+
'''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex dpi='100'> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, где <tex dpi='100'> H </tex> - гильбертово пространство.
 
Условие
 
Условие
Для любого <tex> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами:
+
Для любого <tex dpi='100'> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <tex dpi='100'>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами:
# <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>
+
# <tex dpi='100'>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>
# <tex>\left \| f \right \| = 1</tex>
+
# <tex dpi='100'>\left \| f \right \| = 1</tex>
 
Условие
 
Условие
<tex>\forall x \ne y\ \exists</tex> линейный функционал <tex>\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>
+
<tex dpi='100'>\forall x \ne y\ \exists</tex> линейный функционал <tex dpi='100'>\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>
Рассмотрим <tex>x-y</tex>. <tex>\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|</tex>.  
+
Рассмотрим <tex dpi='100'>x-y</tex>. <tex dpi='100'>\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|</tex>.  
По линейности, <tex>\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y</tex>. Значит, <tex>\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>.
+
По линейности, <tex dpi='100'>\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y</tex>. Значит, <tex dpi='100'>\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>.
  
 
№30. Пространство R^n :  покоординатная сходимость
 
№30. Пространство R^n :  покоординатная сходимость
утв покоординатная сходимость в <tex>\mathbb R^n</tex>
+
утв покоординатная сходимость в <tex dpi='100'>\mathbb R^n</tex>
 
Условие
 
Условие
Пусть дана последовательность <tex>\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n</tex>. Тогда <tex>\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x</tex> в <tex>\mathbb R^n</tex> тогда и только тогда, когда для любого <tex>j \in 1,\dots,n</tex> последовательность <tex>\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j</tex>
+
Пусть дана последовательность <tex dpi='100'>\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n</tex>. Тогда <tex dpi='100'>\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x</tex> в <tex dpi='100'>\mathbb R^n</tex> тогда и только тогда, когда для любого <tex dpi='100'>j \in 1,\dots,n</tex> последовательность <tex dpi='100'>\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j</tex>
  
 
№31. Полнота R^n
 
№31. Полнота R^n
 
Условие
 
Условие
Пространство <tex>\mathbb R^n</tex> с евклидовой нормой является B-пространством.
+
Пространство <tex dpi='100'>\mathbb R^n</tex> с евклидовой нормой является B-пространством.
 
док-во
 
док-во
Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме <tex>\mathbb R^n</tex>.
+
Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме <tex dpi='100'>\mathbb R^n</tex>.
Если <tex>\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0</tex>, то для любого <tex>j</tex> выполняется <tex>|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0</tex>. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей <tex>x_j^{(m)}</tex> имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно.
+
Если <tex dpi='100'>\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0</tex>, то для любого <tex dpi='100'>j</tex> выполняется <tex dpi='100'>|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0</tex>. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей <tex dpi='100'>x_j^{(m)}</tex> имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно.
 
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
 
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
  
 
№32. Критерий компактности в R^n
 
№32. Критерий компактности в R^n
 
Условие
 
Условие
Множество <tex> X </tex> в <tex> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
+
Множество <tex dpi='100'> X </tex> в <tex dpi='100'> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
  
 
Ворпос №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов
 
Ворпос №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>
+
Л.о. непрерывен в X, если <tex dpi='100'>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>
 
Также, непрерывность л.о. совпадает с его непрерывностью в нуле.
 
Также, непрерывность л.о. совпадает с его непрерывностью в нуле.
В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>
+
В <tex dpi='100'>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex dpi='100'>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex dpi='100'>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex dpi='100'>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>
 
Утв Условие
 
Утв Условие
<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>
+
<tex dpi='100'>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>
 
док-во
 
док-во
<tex>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>\mathcal{A}</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex>x</tex>.
+
<tex dpi='100'>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex dpi='100'>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex dpi='100'>j</tex> и <tex dpi='100'>k</tex> пробегают от <tex dpi='100'>1</tex> до <tex dpi='100'>n</tex> и <tex dpi='100'>m</tex> соответственно, а <tex dpi='100'>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex dpi='100'>\mathcal{A}</tex> на точку <tex dpi='100'>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex dpi='100'>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex dpi='100'>x</tex>.
В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>
+
В <tex dpi='100'>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex dpi='100'>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex dpi='100'>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex dpi='100'>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>
 
Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.
 
Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.
  
 
№34. Дифференциал отображения и частные производные,  дифференцируемость суперпозиции
 
№34. Дифференциал отображения и частные производные,  дифференцируемость суперпозиции
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> -шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> - '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, такой, что если <tex>\left \| \Delta x \right \| < r \quad (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>, то:
+
Пусть <tex dpi='100'>V_{r}(x)</tex> -шар в <tex dpi='100'>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex dpi='100'>\mathcal{F}</tex> - '''дифференцируема''' в точке <tex dpi='100'>x</tex>, если существует зависящий от <tex dpi='100'> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex dpi='100'>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, такой, что если <tex dpi='100'>\left \| \Delta x \right \| < r \quad (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>, то:
<tex> \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| </tex>,  
+
<tex dpi='100'> \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| </tex>,  
причем <tex> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
+
причем <tex dpi='100'> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex dpi='100'>\Delta x \rightarrow 0</tex>
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> - '''производная Фреше''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
+
Тогда <tex dpi='100'>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> - '''производная Фреше''' отображения <tex dpi='100'>\mathcal{F}</tex> в точке <tex dpi='100'>x</tex>.
 
Условие
 
Условие
 
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
 
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
+
Пусть <tex dpi='100'>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex dpi='100'>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
+
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex dpi='100'>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex dpi='100'>x_j</tex>.
 
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
 
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
  
 
№35. Формула конечных приращений для функции многих переменных
 
№35. Формула конечных приращений для функции многих переменных
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>
+
<tex dpi='100'>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>
  
 
№36. Неравенство Лагранжа
 
№36. Неравенство Лагранжа
 
Условие
 
Условие
Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}</tex> -дифференцируема в каждой точке шара, тогда:<br>
+
Пусть <tex dpi='100'>V</tex> - шар в <tex dpi='100'>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}</tex> -дифференцируема в каждой точке шара, тогда:<br>
<tex>\forall  \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| </tex>
+
<tex dpi='100'>\forall  \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex dpi='100'>M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| </tex>
  
 
№37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
 
№37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
 
Условие
 
Условие
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex>
+
Пусть <tex dpi='100'>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex dpi='100'>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex dpi='100'>y : V \to \mathbb{R}</tex>
<tex>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных, непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})  
+
<tex dpi='100'>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex dpi='100'>n</tex> переменных, непрерывна в <tex dpi='100'>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})  
 
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.
 
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.
Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
+
Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex dpi='100'>a</tex>.
  
 
№38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных
 
№38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных
 
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.
 
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.
<tex>\frac \partial{\partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков.  
+
<tex dpi='100'>\frac \partial{\partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex dpi='100'>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков.  
Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
+
Пусть <tex dpi='100'>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex dpi='100'>\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex dpi='100'>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)</tex>
+
Пусть в двумерном шаре у функции <tex dpi='100'>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex dpi='100'>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <tex dpi='100'>\overline a</tex>: <tex dpi='100'>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)</tex>
  
 
№39. Формула Тейлора для функции многих переменных
 
№39. Формула Тейлора для функции многих переменных
<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex>
+
<tex dpi='100'>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex>
  
 
№40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия
 
№40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия
Опр: Пусть задан линейный функционал <tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <tex> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.
+
Опр: Пусть задан линейный функционал <tex dpi='100'>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <tex dpi='100'> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.
Если при <tex>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, <tex>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})</tex>, то <tex>a</tex> {{---}} '''точка локального максимума'''. Аналогично определяется точка локального минимума.
+
Если при <tex dpi='100'>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, <tex dpi='100'>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})</tex>, то <tex dpi='100'>a</tex> {{---}} '''точка локального максимума'''. Аналогично определяется точка локального минимума.
 
Аналог теоремы Ферма
 
Аналог теоремы Ферма
Пусть <tex>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a</tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex>
+
Пусть <tex dpi='100'>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex dpi='100'>a</tex>. Тогда <tex dpi='100'>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex>
  
 
№41. Локальная теорема о неявном отображении
 
№41. Локальная теорема о неявном отображении
 
О неявном отображении
 
О неявном отображении
 
Условие
 
Условие
Пусть для <tex>f</tex> поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными <tex>(x_0,y_0)</tex>. Известно, что в окрестности начальных данных<tex>f_{\overline y}'</tex> непрерывно зависит от <tex>\overline x,\overline y</tex> и непрерывно обратима в <tex>(x_0,y_0)</tex>. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.
+
Пусть для <tex dpi='100'>f</tex> поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными <tex dpi='100'>(x_0,y_0)</tex>. Известно, что в окрестности начальных данных<tex dpi='100'>f_{\overline y}'</tex> непрерывно зависит от <tex dpi='100'>\overline x,\overline y</tex> и непрерывно обратима в <tex dpi='100'>(x_0,y_0)</tex>. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.
 
{{TODO | t = здесь надо еще написать что-нибудь типа определения неявного отображения
 
{{TODO | t = здесь надо еще написать что-нибудь типа определения неявного отображения
  
 
№42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум
 
№42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум
<tex>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:  
+
<tex dpi='100'>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:  
<tex>\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\
+
<tex dpi='100'>\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\
 
               g_2(\overline x,\overline y)=0\\
 
               g_2(\overline x,\overline y)=0\\
 
               \dots\\
 
               \dots\\
 
               g_m(\overline x,\overline y)=0 \end{cases};</tex>
 
               g_m(\overline x,\overline y)=0 \end{cases};</tex>
 
+
<tex dpi='100'>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex dpi='100'>f</tex>, если для всех <tex dpi='100'>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex dpi='100'>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex dpi='100'>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex dpi='100'>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.
<tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex>f</tex>, если для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.
 
  
 
№43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование
 
№43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование
Строка 289: Строка 288:
 
<wikitex>
 
<wikitex>
 
Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.
 
Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.
Вейерштрасс
+
Вейерштрасс Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
 
 
Условие
 
Условие
 
Пусть $ |f(x, y) | \le g(x)\ \forall x \ge a, \forall y \in [c; d] $.
 
Пусть $ |f(x, y) | \le g(x)\ \forall x \ge a, \forall y \in [c; d] $.
Строка 314: Строка 312:
 
<wikitex>
 
<wikitex>
 
$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $
 
$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $
 
 
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
 
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
 
 
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
 
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
 
 
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $;  $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $.
 
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $;  $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $.
 
</wikitex>
 
</wikitex>
  
№49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования
+
№49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования
<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>
+
<tex dpi='100'>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>
 
+
<tex dpi='100'>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j</tex>
<tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j</tex>
+
<tex dpi='100'>|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j</tex>
 
+
Двойной интеграл <tex dpi='100'>\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)</tex>
<tex>|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j</tex>
+
<tex dpi='100'>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>,  
 
+
<tex dpi='100'>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>
 
+
если <tex dpi='100'>f</tex> - непрерывна на <tex dpi='100'> \Pi </tex>, то существует <tex dpi='100'>\iint\limits_\Pi f</tex>(достаточное условие интегрируемости).
 
 
Двойной интеграл <tex>\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)</tex>
 
 
 
 
 
<tex>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>,  
 
 
 
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>
 
 
 
если <tex>f</tex> - непрерывна на <tex> \Pi </tex>, то существует <tex>\iint\limits_\Pi f</tex>(достаточное условие интегрируемости).
 
  
 
№50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику
 
№50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику
* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \int\limits_{\Pi_m} f</tex>
+
* <tex dpi='100'>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \int\limits_{\Pi_m} f</tex>
* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
+
* <tex dpi='100'>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
 
 
№51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника
 
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
 
  
 
№52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану
 
№52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану
 
+
<tex dpi='100'>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <tex dpi='100'>\iint\limits_E 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.
 
 
<tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <tex>\iint\limits_E 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.
 
 
 
  
 
№53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту
 
№53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту
 
 
Условие
 
Условие
Пусть <tex>E</tex> - квадрируемый компакт на плоскости, <tex>f</tex> непрерывна на <tex>E</tex>. Тогда существует <tex>\iint\limits_E f</tex>.
+
Пусть <tex dpi='100'>E</tex> - квадрируемый компакт на плоскости, <tex dpi='100'>f</tex> непрерывна на <tex dpi='100'>E</tex>. Тогда существует <tex dpi='100'>\iint\limits_E f</tex>.
 
 
 
 
№54. Формула повторного интегрирования в общем случае
 
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
 
  
 
№55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах
 
№55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах
<tex>\int \int dx dy  = \int \int | J(u, v) | du dv </tex>
+
<tex dpi='100'>\int \int dx dy  = \int \int | J(u, v) | du dv </tex>
  
 
№56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
 
№56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
<tex>\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0</tex>
+
<tex dpi='100'>\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0</tex>
 
+
<tex dpi='100'>\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u</tex>
<tex>\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u</tex>
 
  
 
№57. Обзор формул для многократных интегралов
 
№57. Обзор формул для многократных интегралов

Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022

№1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n[/math] имеет сумму [math]S[/math] по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math].

№2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля Пусть дан ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n[/math] и [math] \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)[/math] (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму [math] S [/math] по методу Абеля, если [math] S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)[/math].

№3. Теорема Фробениуса Условие [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (с.а) [math] \Rightarrow [/math] [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (А).

№4. Тауберова теорема Харди Условие [math]\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S[/math](с.а.) Тогда, если существует такое [math] M \gt 0 [/math], что [math] \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n [/math], то [math] \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S[/math].

№5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши [math]f_1, f_2, \ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math], если [math]\forall \varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math] Пишут, что [math]f_n \rightrightarrows f[/math].

Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math]. Тогда он равномерно сходится к [math]f = \sum f_n[/math], если [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]

Критерий Коши равномерной сходимости УсловиеРяд равномерно сходится на [math]E[/math] [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math]

№6. Признак Вейерштрасса Условие [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math], [math]\forall n \in \mathbb{N} [/math] , [math] \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n[/math], [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n[/math] - сходится. Тогда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] равномерно сходится на [math]E[/math].

№7. Признак типа Абеля-Дирихле Условие Пусть: * [math]\exists M: \forall x \in E \quad \forall N \in \mathbb N \quad \left |\sum\limits_{n = 1}^N b_n(x) \right| \le M[/math]

  • [math]\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad \forall n \gt N \quad \forall x \in E \quad |a_n(x)| \lt \varepsilon;\quad\exists N:\forall n\gt N\quad a_n \ge a_{n+1}[/math]

Тогда ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x)b_n(x)[/math] равномерно сходится.

№8. Предельный переход под знаком функционального ряда Условие Пусть на множестве [math]E[/math] заданы функции [math]f_n[/math], [math]a[/math] - предельная точка этого множества и [math]\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)[/math]. Тогда если [math]\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n[/math] - равномерно сходится на [math]E[/math], то выполняется равенство : [math]\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)[/math]

№9. Условия почленного интегрирования функционального ряда Условие Пусть [math] f_{n} [/math] интегрируема и равномерно сходится к [math] f [/math] на [math] [a; b] [/math]. Тогда [math] f [/math] тоже интегрируема, и [math] \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f [/math]. Условие Пусть функциональный ряд состоит из [math]f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ][/math] и равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться: [math]\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx[/math]

№10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда Условие Пусть на [math] (a, b) [/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n[/math], [math]\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)[/math] - сходится. Пусть также [math]\exists f_n'[/math] - непрерывна на [math]\langle a, b \rangle[/math] и [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'[/math] - равномерно сходится на [math]\langle a, b\rangle[/math], тогда на [math]\langle a, b \rangle[/math] выполняется : [math](\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)[/math].

№11. Лемма Абеля Условие Пусть для некоторого [math]x_0[/math] [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n[/math] - сходится. Тогда [math]\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|[/math] ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math] сходится.

№12. Теорема о радиусе сходимости [math]R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] - сходится [math]\}[/math]. Заметим, что возможны случаи [math]R = 0[/math] и [math]R = \infty[/math]. Условие Пусть есть ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] и [math]R[/math] - его радиус сходимости. Тогда 1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится. 2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно. 3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится. 4) [math]|x| = R[/math] - неопределённость.

№13. Вычисление радиуса сходимости Условие Пусть есть [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]R[/math] - его радиус сходимости. Тогда: 1) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1} }\right|[/math], то [math]R = q[/math]. 2) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}[/math], то [math]R = \frac1q[/math] Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: [math]R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|} }[/math]. Но она сложная и никому не нужна. Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.

№14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?" Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда". утв: УсловиеПромежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда

№15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы <wikitex> Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $. $ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $. Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $. $ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу. $ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $. Если при всех x из некоторой окрестности точки $ x_0 $ функция разлагается в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора. Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка $ r_n(x) $. </wikitex>

№16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы [math] r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]

№17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций <wikitex> $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $ $ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{(n + 1)} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $ </wikitex>

№18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций <wikitex> $\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$ $\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ </wikitex>

№19. Биномиальный ряд Ньютона <wikitex> $ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $ $ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ (в форме Коши) </wikitex>

№20. Формула Стирлинга <wikitex> $ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $ </wikitex>

№21. Нормированное пространство: арифметика предела Условие Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math]. Тогда:

  1. [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math]
  2. [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math]
  3. [math]\|x_n\| \rightarrow \|x\|[/math]

№22. Ряды в банаховых пространствах Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством, если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности. [math]\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|[/math]

№23. Унитарные пространства, неравенство Шварца Линейное множество со скалярным произведением называется унитарным пространством. утв [math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math]

№24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств. Пусть [math]H[/math] — линейное пространство. Величина [math](x, y) \in \mathbb R[/math] называется скалярным произведением точек множества [math]H[/math], если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:

  1. [math](x, x) \ge 0[/math], [math](x, x) = 0 \iff x = 0[/math]
  2. [math](x, y) = (y, x)[/math]
  3. [math](\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)[/math]

Базируясь на этом неравенстве, определим норму [math]\|x\| = \sqrt{(x, x)}[/math]. Доказанное неравенство треугольника превращает [math]H[/math] в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют гильбертовым пространством.

Теорема Бесселя Условие Пусть [math] l_1 \dots \l_n \dots [/math] - ОНС в [math] H [/math] и [math] x \in H [/math], тогда [math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2[/math] Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: [math]\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2[/math] располагается ближе всего к [math]\|x\|^2[/math], если [math]l_k[/math] — ряд Фурье [math]x[/math].

№25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах. Ряд [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] является ортогональным, если [math] \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 [/math]. В частности, так как [math] l_1, \dots, l_n, \dots [/math] - ОНС в [math] H [/math](гильбертово), то [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k [/math] - ортогональный ряд.

Условие [math]\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] - сходящийся ортогональный ряд [math] \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 \lt + \infty [/math]. При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: [math] \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 [/math]

№26. Принцип сжатия Банаха Пусть [math]X[/math] - B-пространство. Пусть [math]\overline V[/math] - замкнутый шар в [math]X[/math].
[math] \mathcal{T} : \overline V \to \overline V[/math] - сжатие на шаре [math]\overline V[/math], если [math]\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V[/math] [math] : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|[/math]. Теорема Банаха У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка [math]x^*=\mathcal{T}x^*[/math].

№27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность Пусть [math]X[/math], [math]Y[/math] — нормированные пространства, [math]~\mathcal{A}\colon X \to Y[/math]. [math]\mathcal{A}[/math] называется линейным оператором, если [math]\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X[/math] Л.о. называется ограниченным, если [math]\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|[/math] Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) [/math] Условие Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

№28. Норма линейного оператора Нормой ограниченного оператора [math]\left \| \mathcal{A} \right \|[/math] является [math]\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|[/math].

№29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек Линейный функционал - линейный оператор вида [math] \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} [/math], где [math] H [/math] - гильбертово пространство. Условие Для любого [math] x_0 \in H [/math] существует ограниченный линейный функционал [math]f \colon H \to \mathbb{R}[/math], обладающий такими свойствами:

  1. [math]f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math]
  2. [math]\left \| f \right \| = 1[/math]

Условие [math]\forall x \ne y\ \exists[/math] линейный функционал [math]\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y[/math] Рассмотрим [math]x-y[/math]. [math]\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|[/math]. По линейности, [math]\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y[/math]. Значит, [math]\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y[/math].

№30. Пространство R^n : покоординатная сходимость утв покоординатная сходимость в [math]\mathbb R^n[/math] Условие Пусть дана последовательность [math]\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n[/math]. Тогда [math]\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x[/math] в [math]\mathbb R^n[/math] тогда и только тогда, когда для любого [math]j \in 1,\dots,n[/math] последовательность [math]\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j[/math]

№31. Полнота R^n Условие Пространство [math]\mathbb R^n[/math] с евклидовой нормой является B-пространством. док-во Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме [math]\mathbb R^n[/math]. Если [math]\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0[/math], то для любого [math]j[/math] выполняется [math]|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0[/math]. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей [math]x_j^{(m)}[/math] имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно. Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.

№32. Критерий компактности в R^n Условие Множество [math] X [/math] в [math] R^n [/math] компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Ворпос №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) [/math] Также, непрерывность л.о. совпадает с его непрерывностью в нуле. В [math]\mathbb{R}^n[/math] сходимость покоординатная. [math]\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|[/math] (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из [math]\overline x \to 0[/math] неизбежно следует [math]\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0[/math] Утв Условие [math]\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}[/math] док-во [math]\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k[/math] — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: [math]\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )[/math], где [math]j[/math] и [math]k[/math] пробегают от [math]1[/math] до [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно, а [math]\mathcal{A} \overline x [/math] — результат действия л.о. [math]\mathcal{A}[/math] на точку [math]\overline x[/math] можно представить в виде произведения матрицы [math]\mathcal{A}[/math] и столбца [math]x[/math]. В [math]\mathbb{R}^n[/math] сходимость покоординатная. [math]\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|[/math] (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из [math]\overline x \to 0[/math] неизбежно следует [math]\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0[/math] Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.

№34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции Пусть [math]V_{r}(x)[/math] -шар в [math]X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y [/math]. [math]\mathcal{F}[/math] - дифференцируема в точке [math]x[/math], если существует зависящий от [math] x [/math] ограниченный линейный оператор [math]\mathcal{A} : X \to Y[/math], такой, что если [math]\left \| \Delta x \right \| \lt r \quad (x + \Delta x \in V_r(x))[/math], то: [math] \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| [/math], причем [math] \alpha(\Delta x) \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math] Тогда [math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)[/math] - производная Фреше отображения [math]\mathcal{F}[/math] в точке [math]x[/math]. Условие Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений. Пусть [math]\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}[/math], тогда [math]\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)[/math] Данный предел называется частной производной первого порядка функции [math]\mathcal{F}_i[/math] по переменной [math]x_j[/math]. [math]A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}[/math]

№35. Формула конечных приращений для функции многих переменных [math]\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})[/math]

№36. Неравенство Лагранжа Условие Пусть [math]V[/math] - шар в [math]\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}[/math] -дифференцируема в каждой точке шара, тогда:
[math]\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|[/math], где [math]M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| [/math]

№37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных Условие Пусть [math]V(a) \subset \mathbb{R}^n[/math] [math]y = f(x_1,...,x_n)[/math], [math]y : V \to \mathbb{R}[/math] [math]\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}[/math], каждая из которых, как функция [math]n[/math] переменных, непрерывна в [math]\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})[/math]. Тогда существует дифференциал этой функции в точке [math]a[/math].

№38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных Определим частные производные и дифференциалы высших порядков. [math]\frac \partial{\partial x_j}[/math] — оператор, дифференцирующий функцию по [math]x_j[/math]. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть [math]z = f(x,y)[/math]. Тогда [math]\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/math] — частная производная второго порядка функции [math]f[/math]. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо. Пусть в двумерном шаре у функции [math]z = f(x,y)[/math] существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке [math]\overline a[/math] этого шара. Тогда в [math]\overline a[/math]: [math]\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)[/math]

№39. Формула Тейлора для функции многих переменных [math]f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}[/math]

№40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия Опр: Пусть задан линейный функционал [math]y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) [/math] на [math] V(\overline{a}) \subset R^n [/math]. Если при [math]\| \Delta \overline{a} \| \le \delta[/math], [math]\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})[/math], то [math]a[/math]точка локального максимума. Аналогично определяется точка локального минимума. Аналог теоремы Ферма Пусть [math]f[/math] дифференцируема в точке локального экстремума [math]a[/math]. Тогда [math]\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0[/math]

№41. Локальная теорема о неявном отображении О неявном отображении Условие Пусть для [math]f[/math] поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными [math](x_0,y_0)[/math]. Известно, что в окрестности начальных данных[math]f_{\overline y}'[/math] непрерывно зависит от [math]\overline x,\overline y[/math] и непрерывно обратима в [math](x_0,y_0)[/math]. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует. {{TODO | t = здесь надо еще написать что-нибудь типа определения неявного отображения

№42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум [math]z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)[/math]. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m: [math]\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\ g_2(\overline x,\overline y)=0\\ \dots\\ g_m(\overline x,\overline y)=0 \end{cases};[/math] [math](\overline{x_0},\overline{y_0})[/math]условный максимум функции [math]f[/math], если для всех [math]\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}[/math] и [math](\overline x,\overline y)[/math], удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство [math]f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})[/math]. Если же [math]f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})[/math]условный минимум.

№43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование <wikitex> Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $. $ f $ непрерывна. $ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра.

  1. $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
  2. Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
  3. $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.

</wikitex>

№44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса <wikitex> Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $. Вейерштрасс Признак равномерной сходимости несобственных интегралов Условие Пусть $ |f(x, y) | \le g(x)\ \forall x \ge a, \forall y \in [c; d] $. Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $. </wikitex>

№45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность <wikitex> $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ </wikitex>

№46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование <wikitex> $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $ </wikitex>

№47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование <wikitex> $ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( \int\limits_c^{y} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $ </wikitex>

№48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера <wikitex> $ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $ $ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $ В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра. Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $. </wikitex>

№49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования [math](\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}[/math] [math]\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j[/math] [math]|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j[/math] Двойной интеграл [math]\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)[/math] [math]\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j[/math], [math]\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j[/math] если [math]f[/math] - непрерывна на [math] \Pi [/math], то существует [math]\iint\limits_\Pi f[/math](достаточное условие интегрируемости).

№50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику

  • [math]\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \int\limits_{\Pi_m} f[/math]
  • [math]\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f[/math]

№52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану [math]E \subset \mathbb{R}^2[/math] квадрируема по Жордану, если существует [math]\iint\limits_E 1[/math]. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.

№53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту Условие Пусть [math]E[/math] - квадрируемый компакт на плоскости, [math]f[/math] непрерывна на [math]E[/math]. Тогда существует [math]\iint\limits_E f[/math].

№55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах [math]\int \int dx dy = \int \int | J(u, v) | du dv [/math]

№56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле [math]\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0[/math] [math]\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u[/math]

№57. Обзор формул для многократных интегралов