Типы дифференциальных уравнений — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Уравнения приводящегося типа)
(Уравнения приводящиеся к однородным)
Строка 37: Строка 37:
 
  </tex> пусть <tex>a_{1}*x + b_{1} * y + c_{1} = t
 
  </tex> пусть <tex>a_{1}*x + b_{1} * y + c_{1} = t
  
 
+
<br> а где доказательство?
 
  </tex>
 
  </tex>
  

Версия 19:34, 17 сентября 2015

Уравнение с разделенными переменными

Определение:
уравнение вида [math]M(x)dx + N(y)dy = 0 \:\: (1)[/math] называется уравнением с разделенными переменными

Решение: [math](1) \:\: \Leftrightarrow \:\: M(x)dx = -N(y)dy[/math] далее интегрируем правую и левую части

Уравнение с разделяемыми переменными

Определение:
уравнение вида [math]M_{1}(x)N_{1}(y)dx + M_{2}(x)N_{2}(y)dy = 0 \:\: (2)[/math] называется уравнением с разделяемыми переменными

Решение: (2) разделим на [math]N_{1}(y)M_{2}(x) \neq 0[/math] и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать осбые решения.

Однородные уравнения

Определение:
уравнение вида [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (3)[/math], где M и N - однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением


Определение:
[math]f(x, y) - [/math] однородная функция измерения n [math]\Leftrightarrow \: f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n}f(x, y)[/math]

Решение: произвести замену [math]t = \frac{y}{x}[/math]


Определение:
[math]\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})[/math] - один из видов однородного уравнения.

Уравнения приводящиеся к однородным

Определение:
уравнение вида [math]\frac{dy}{dx}= f(\frac{a_{1}*x + b_{1}*y + c_{1}}{a_{2}*x + b_{2}*y + c_{2}}) (4)[/math] называется уравнением приводящимся к однородному

Решение:

1) [math]\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = u + \alpha \\ y = v + \beta \end{matrix}\right. [/math]

[math] (\alpha, \beta) : \left\{\begin{matrix} a_{1}*x + b_{1}*y + c_{1} = 0\\ a_{2}*x + b_{2}*y + c_{2} = 0 \end{matrix}\right.[/math]

Тогда получаем однородное уравнение.

2) [math]\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow [/math] пусть [math]a_{1}*x + b_{1} * y + c_{1} = t \lt br\gt а где доказательство? [/math]

Линейное уравнение первого порядка

//todo

Способ решения методом Бернулли

Способ решения методом Лагранжа

Уравнение в полных дифференциалах

Приводящееся уравнение к общим дифференциалам