Топологические векторные пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 32 промежуточные версии 11 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
<wikitex>
 
  
Рассмотрим множество $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.
+
Рассмотрим множество <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
 
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$
+
* непрерывность умножения на скаляр: <tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0 </tex>, если <tex> \alpha \to \alpha_0 </tex>, <tex> x \to x_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(\alpha_0 x_0) </tex> существует <tex>  \varepsilon > 0 </tex> и существует <tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </tex>
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0 \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0)$.
+
* непрерывность сложения векторов: <tex> x + y \to x_0 + y_0 </tex>, если <tex> x \to x_0 </tex>, <tex> y \to y_0 </tex>. Означает, что для любой окрестности <tex> U(x_0 + y_0) </tex> существуют окрестности <tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0) </tex>.
 
}}
 
}}
  
В ситуации $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, когда предел определен поточечно, если $\forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0$ рассмотреть $U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \}$, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.
+
В ситуации <tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R} </tex>, когда предел определен поточечно, если <tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0 </tex> рассмотреть <tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \} </tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.
  
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть $X$ — линейное пространство, $A, B \subset X$, тогда определим
+
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> A, B \subset X </tex>, тогда определим
* $A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}
+
* <tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex>
$ $\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}$
+
*<tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}</tex>
Заметим, что $2 A \subset A + A$, но обратное не верно.
+
 
 +
Заметим, что <tex> 2 A \subset A + A </tex>, но обратное не верно. Например, в <tex>X = \mathbb{R}</tex>, <tex> A = \{1, 3\}</tex>: <tex>2A=\{2,6\}</tex>, но <tex>A+A=\{2,4,6\}</tex>.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
$A$ '''закругленное/уравновешенное''', если $\forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A$.
+
<tex> A </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если <tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
$A$ '''поглощает''' $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A$.
+
<tex> A </tex> '''поглощает''' <tex> B </tex>, если <tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
$A$ '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.
+
<tex> A </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
$A$ '''выпуклое''', если $\forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A$, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.
+
<tex> A </tex> '''выпуклое''', если <tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + (1 - \alpha) y \in A </tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.
 
}}
 
}}
  
{{TODO|t= тут какая-то хурма про уравновешенность}}
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> A </tex> '''ограничено''', если <tex> \forall U(0)\ \exists \lambda > 0: A \subset \lambda U(0) </tex> (то есть, его поглощает любая окрестность нуля).
 +
}}
 +
 
 +
Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>A \subset X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> — уравновешенное.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:
 +
 
 +
<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>.  <tex>x = \mu y</tex>.  <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>.  <tex>y \in \lambda A</tex>.  <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex>
 +
 
 +
<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = (\mu \lambda) z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex>
 +
 
 +
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.
 +
}}
 +
 
 +
== Теорема о характеристике векторной топологии ==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=характеристика векторной топологии
 
|about=характеристика векторной топологии
 
|statement=
 
|statement=
$\tau$ — векторная топология на $X$ тогда и только тогда, когда:
+
<tex> \tau </tex> — векторная топология на <tex> X </tex> тогда и только тогда, когда:
# $\tau$ инвариантна относительно сдвигов: $\tau + x_0 = \tau$
+
# <tex> \tau </tex> инвариантна относительно сдвигов: <tex> \tau + x_0 = \tau </tex>
 
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля
 
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля
# $\forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$ {{TODO|t= какой сакральный смысл у этого свойства?}}
+
# <tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
В прямую сторону:
 
В прямую сторону:
  
# Рассмотрим отображение $x \mapsto x + x_0$, то есть сдвиг на $x_0$. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если $G \in \tau$ (открыто), $G + x_0$ также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
+
# Рассмотрим отображение <tex> f, f(x + x_0) = x</tex>, то есть, сдвиг на <tex> x_0 </tex>. Это отображение взаимно однозначно и непрерывно (так как оно может быть определено через непрерывную по определению ТВП операцию сложения, <tex>f(x) = x - x_0 </tex>). Прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, то есть, если <tex> G \in \tau </tex> (открыто), то <tex> f^{-1}(G) = G + x_0 </tex> также открыто. Получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. $\lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0$, то есть $\forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \ge 0$({{TODO|t= тут вроде был баг в конспекте, проверьте}}) $x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| < \delta} \lambda W(0) \subset U(0)$, где $\lambda W(0)$ — уравновешено и окрестность 0.
+
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. <tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 </tex>, то есть <tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \le \delta </tex> <tex> x \in W(0) \implies  \lambda x \in U(0) \iff \lambda W(0) \subset U(0) \implies \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) </tex>, где <tex> \lambda W(0) </tex> — уравновешено и окрестность 0.
#: Для радиальности: $\forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| < \delta, \lambda x_0 \in U(0)$. $x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta}$, то есть $U(0)$ поглощает $x_0$.
+
#: Для радиальности: <tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \implies \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) </tex>. <tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} </tex>, то есть <tex> U(0) </tex> поглощает <tex> x_0 </tex>.
# $x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$.
+
# <tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \quad \forall U(0) \exists U_1(0) \implies U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) </tex>.
  
 
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:
 
В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:
  
 
Непрерывность сложения:
 
Непрерывность сложения:
*: Вспомогательный факт: если $x \to x_0$, то $x - x_0 \to 0$, то есть $x$ представимо как $ x = x_0 + y, y \to 0$.
+
*: Вспомогательный факт: если <tex> x \to x_0 </tex>, то <tex> x - x_0 \to 0 </tex>, то есть <tex> x </tex> представимо как <tex>  x = x_0 + y, y \to 0 </tex>.
*: Если $x \to x_0, y \to y_0$. $x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0$. $x + y = (x_0 + y_0) + (u + v)$, где по свойствам предела $(u + v) \to 0$, что и требуется.
+
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.
  
Непрерывность умножения: пусть $\lambda \to \lambda_0, x \to x_0$, покажем что $\lambda x \to \lambda_0 x_0$. Пусть $\lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0$, $x = x_0 + u, u \to 0$. Тогда $\lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u)$. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.
+
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>.
{{TODO|t= дальше ничего что-то не понимаю, запилите кто-нибудь,а?}}
+
Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>.
 +
Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>.
 +
Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.
 +
 
 +
1) <tex>\alpha x_0</tex> из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.
 +
 
 +
2) <tex>\alpha \to 0 \implies |\alpha| \le 1</tex>, по условию теоремы <tex> \exists U(0)</tex> — уравновешенное <tex> \implies \alpha U(0) \subset U(0) \implies \alpha u \to 0 </tex>.
 +
 
 +
3) по условию теоремы <tex>\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \implies 2U_1(0) \subset U(0)</tex>.
 +
Раз <tex>U_1(0)</tex> — окрестность 0 <tex> \implies \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \implies 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)</tex>
 +
<tex> \implies \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{n_1}} | < 1 \implies  </tex> если <tex>u \in U_{n_1}(0), 2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \implies 2^{n_1} u \in U(0) \implies {\lambda_0 \over 2^{n_1}} 2^{n_1} u \in U(0) \implies \lambda_0 u \in U \implies \lambda_0 u \to 0</tex>.
 +
 
 +
Получили, что скобка стремится к нулю, значит умножение непрерывно.
 
}}
 
}}
  
Строка 69: Строка 100:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть $X$ — линейное пространство, $M$ — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\}$.
+
Пусть <tex> X </tex> — линейное пространство, <tex> \mu </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' <tex> p_{\mu} </tex> определяется как <tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\} </tex>.
 
}}
 
}}
  
Заметим, что если $M, N$ — радиальны и $M \subset N$, то $p_N(x) \le p_M(x)$.
+
Заметим, что если <tex> M, N </tex> — радиальны и <tex> M \subset N </tex>, то <tex> p_N(x) \le p_M(x) </tex>.
  
 
Пример:
 
Пример:
* $X$ — НП, $V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\|$, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.
+
* <tex> X </tex> — НП, <tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| </tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Если $M$ закругленное радиальное выпуклое множество, $p_M(X)$ — полунорма на $X$.
+
Если <tex> M </tex> уравновешенное радиальное выпуклое множество, <tex> p_M(X) </tex> — полунорма на <tex> X </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
$p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$
+
<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>
 +
 
 +
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \implies {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \implies  {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \implies x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex>  p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon  </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.
 +
 
 +
Однородность:
  
$\exists \lambda > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon$, $p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon$, $x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M$. Рассмотрим $\alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2}$, заметим, что $\alpha + \beta = 1$, из выпуклости получим, что $\alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M$, то есть $ p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < (p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon $, сделав предельный переход, получим $p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$.
+
<tex>p_M (\lambda x) = \inf \{r > 0:  \lambda x \in r M \} = \inf \{r > 0:  x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} </tex> <tex>= \inf \{ | \lambda | \frac{r}{ | \lambda | } > 0: x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} = |\lambda| p_M(x)</tex>
 +
}}
  
$p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x)$ проверяется аналогично.
+
{{Определение
 +
|definition=Топологическое пространство <tex>X</tex> называется '''Хаусдорфовым''', если <tex>\forall x, y \in X : x \ne y : \exists U(x) \cap U(y) = \varnothing</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 91: Строка 128:
 
|author=Колмогоров
 
|author=Колмогоров
 
|statement=
 
|statement=
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность. ({{TODO|t=: к чему это?)}}
+
Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.
 
|proof=
 
|proof=
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то $V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \}$
+
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то <tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} </tex>
  
{{TODO|t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит(}}
+
{{TODO|t= На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде}}
  
В обратную: пусть $V$ — ограниченная выпуклая окрестность нуля. $W$ — радиальная закр. ({{TODO|t= что значит закр.?}}) окрестность 0: $W \subset V$, $\mathrm{Cov} W $ — выпуклая оболочка, $V$ — выпуклая, $\mathrm{Cov} W \subset V$, $\mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. множество, так как $W$ — такое же. Из ограниченности $V$ следует ограниченность $\mathrm{Cov} W$.
+
В обратную: пусть <tex> V </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. <tex> W </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: <tex> W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — выпуклая оболочка множества <tex> W </tex>, <tex> V </tex> — выпуклая, <tex> \mathrm{Cov} W \subset V </tex>, <tex> \mathrm{Cov} W </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как <tex> W </tex> — такое же. Из ограниченности <tex> V </tex> следует ограниченность <tex> \mathrm{Cov} W </tex>, то есть, мы построили <tex> V^* = \mathrm{Cov} W </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность <tex> 0 </tex>.
  
То есть, мы построили $V^* = \mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. выпуклую {{TODO|t= пшшш.}} $V^* \to p_{V^*}$ — функционал Минковского — полунорма. $V^*$ ограничено, тогда $\{ {1 \over n} V^* \}$ — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0$, то есть $p_{V^*}$ — норма, а $\{ {1 \over n} V^*\}$ — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
+
<tex> V^* \to p_{V^*} </tex> — функционал Минковского — полунорма. <tex> V^* </tex> ограничено, тогда <tex> \{ {1 \over n} V^* \} </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то <tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \implies  p_{V^*}(x) = 0 \implies x = 0 </tex>, то есть <tex> p_{V^*} </tex> — норма, а <tex> \{ {1 \over n} V^*\} </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
 
}}
 
}}
 
 
 
 
</wikitex>
 
  
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Текущая версия на 19:31, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Рассмотрим множество [math] f: [0, 1] \to \mathbb{R} [/math]. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.


Определение:
Топологическое векторное пространство — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
  • непрерывность умножения на скаляр: [math] \alpha x \to \alpha_0 x_0 [/math], если [math] \alpha \to \alpha_0 [/math], [math] x \to x_0 [/math]. Означает, что для любой окрестности [math] U(\alpha_0 x_0) [/math] существует [math] \varepsilon \gt 0 [/math] и существует [math] U(x_0): |\alpha - \alpha_0| \lt \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) [/math]
  • непрерывность сложения векторов: [math] x + y \to x_0 + y_0 [/math], если [math] x \to x_0 [/math], [math] y \to y_0 [/math]. Означает, что для любой окрестности [math] U(x_0 + y_0) [/math] существуют окрестности [math] U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0) [/math].


В ситуации [math] f: [0, 1] \to \mathbb{R} [/math], когда предел определен поточечно, если [math] \forall 0 \le t_1 \lt \dots \lt t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n \gt 0 [/math] рассмотреть [math] U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| \lt \varepsilon_j \} [/math], объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.

Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть [math] X [/math] — линейное пространство, [math] A, B \subset X [/math], тогда определим

  • [math]A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}[/math]
  • [math]\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}[/math]

Заметим, что [math] 2 A \subset A + A [/math], но обратное не верно. Например, в [math]X = \mathbb{R}[/math], [math] A = \{1, 3\}[/math]: [math]2A=\{2,6\}[/math], но [math]A+A=\{2,4,6\}[/math].


Определение:
[math] A [/math] закругленное/уравновешенное, если [math] \forall \lambda: |\lambda| \lt 1: \lambda A \subset A [/math].


Определение:
[math] A [/math] поглощает [math] B [/math], если [math] \exists \lambda_0 \gt 0: \forall \lambda: |\lambda| \gt \lambda_0: B \subset \lambda A [/math].


Определение:
[math] A [/math] радиальное/поглощающее, если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.


Определение:
[math] A [/math] выпуклое, если [math] \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + (1 - \alpha) y \in A [/math], то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.


Определение:
[math] A [/math] ограничено, если [math] \forall U(0)\ \exists \lambda \gt 0: A \subset \lambda U(0) [/math] (то есть, его поглощает любая окрестность нуля).


Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.

Утверждение:
Пусть [math]A \subset X[/math] и [math]\varepsilon \gt 0[/math], и [math]A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A[/math] Тогда [math]A_\varepsilon[/math] — уравновешенное.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]|\mu| \lt 1[/math], проверим, что [math]\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}[/math]:

[math]x \in \mu A_{\varepsilon}[/math]. [math]x = \mu y[/math]. [math]y \in A_{\varepsilon}[/math]. [math]y \in \lambda A[/math]. [math]|\lambda| \le \varepsilon[/math]

[math]y = \lambda z, z \in A[/math]. Тогда [math]x = (\mu \lambda) z[/math], но [math]|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon[/math]

Тогда [math]x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon[/math] и [math]x \in A_{\varepsilon}[/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о характеристике векторной топологии

Теорема (характеристика векторной топологии):
[math] \tau [/math] — векторная топология на [math] X [/math] тогда и только тогда, когда:
  1. [math] \tau [/math] инвариантна относительно сдвигов: [math] \tau + x_0 = \tau [/math]
  2. существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля
  3. [math] \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

В прямую сторону:

  1. Рассмотрим отображение [math] f, f(x + x_0) = x[/math], то есть, сдвиг на [math] x_0 [/math]. Это отображение взаимно однозначно и непрерывно (так как оно может быть определено через непрерывную по определению ТВП операцию сложения, [math]f(x) = x - x_0 [/math]). Прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, то есть, если [math] G \in \tau [/math] (открыто), то [math] f^{-1}(G) = G + x_0 [/math] также открыто. Получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
  2. Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. [math] \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0 [/math], то есть [math] \forall U(0) \exists \delta \gt 0, W(0): |\lambda| \le \delta [/math] [math] x \in W(0) \implies \lambda x \in U(0) \iff \lambda W(0) \subset U(0) \implies \bigcup\limits_{|\lambda| \le \delta} \lambda W(0) \subset U(0) [/math], где [math] \lambda W(0) [/math] — уравновешено и окрестность 0.
    Для радиальности: [math] \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \implies \forall U(0) \exists \delta \gt 0: |\lambda| \le \delta, \lambda x_0 \in U(0) [/math]. [math] x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta} [/math], то есть [math] U(0) [/math] поглощает [math] x_0 [/math].
  3. [math] x + y \to 0, x, y \to 0 \quad \forall U(0) \exists U_1(0) \implies U_1(0) + U_1(0) \subset U(0) [/math].

В обратную сторону, то есть если соблюдаются эти три свойства, в этой топологии линейные операции непрерывны:

Непрерывность сложения:

  • Вспомогательный факт: если [math] x \to x_0 [/math], то [math] x - x_0 \to 0 [/math], то есть [math] x [/math] представимо как [math] x = x_0 + y, y \to 0 [/math].
    Если [math] x \to x_0, y \to y_0 [/math]. [math] x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 [/math]. [math] x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) [/math], где по свойствам предела [math] (u + v) \to 0 [/math], что и требуется.

Непрерывность умножения: пусть [math] \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 [/math], покажем что [math] \lambda x \to \lambda_0 x_0 [/math]. Пусть [math] \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 [/math], [math] x = x_0 + u, u \to 0 [/math]. Тогда [math] \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) [/math]. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.

1) [math]\alpha x_0[/math] из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.

2) [math]\alpha \to 0 \implies |\alpha| \le 1[/math], по условию теоремы [math] \exists U(0)[/math] — уравновешенное [math] \implies \alpha U(0) \subset U(0) \implies \alpha u \to 0 [/math].

3) по условию теоремы [math]\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \implies 2U_1(0) \subset U(0)[/math]. Раз [math]U_1(0)[/math] — окрестность 0 [math] \implies \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \implies 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)[/math] [math] \implies \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{n_1}} | \lt 1 \implies [/math] если [math]u \in U_{n_1}(0), 2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \implies 2^{n_1} u \in U(0) \implies {\lambda_0 \over 2^{n_1}} 2^{n_1} u \in U(0) \implies \lambda_0 u \in U \implies \lambda_0 u \to 0[/math].

Получили, что скобка стремится к нулю, значит умножение непрерывно.
[math]\triangleleft[/math]

Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.


Определение:
Пусть [math] X [/math] — линейное пространство, [math] \mu [/math] — радиальное подмножество, тогда функционал Минковского [math] p_{\mu} [/math] определяется как [math] p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda \gt 0 \mid x \in \lambda \mu\} [/math].


Заметим, что если [math] M, N [/math] — радиальны и [math] M \subset N [/math], то [math] p_N(x) \le p_M(x) [/math].

Пример:

  • [math] X [/math] — НП, [math] V_1 = \{ x \mid \|x\| \lt 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\| [/math], сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.
Утверждение:
Если [math] M [/math] — уравновешенное радиальное выпуклое множество, [math] p_M(X) [/math] — полунорма на [math] X [/math].
[math]\triangleright[/math]

[math] p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) [/math]

[math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) \lt \lambda_1 \lt p_M(x) + \varepsilon [/math], [math] p_M(y) \lt \lambda_2 \lt p_M(y) + \varepsilon [/math], [math] x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \implies {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M [/math]. Рассмотрим [math] \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} [/math], заметим, что [math] \alpha + \beta = 1 [/math], из выпуклости получим, что [math] \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \implies {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \implies x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M [/math], то есть [math] p_M(x + y) \lt \lambda_1 + \lambda_2 \lt p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon [/math], сделав предельный переход, получим [math] p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) [/math].

Однородность:

[math]p_M (\lambda x) = \inf \{r \gt 0: \lambda x \in r M \} = \inf \{r \gt 0: x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} [/math] [math]= \inf \{ | \lambda | \frac{r}{ | \lambda | } \gt 0: x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} = |\lambda| p_M(x)[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Топологическое пространство [math]X[/math] называется Хаусдорфовым, если [math]\forall x, y \in X : x \ne y : \exists U(x) \cap U(y) = \varnothing[/math]


Теорема (Колмогоров):
Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то [math] V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \} [/math]


TODO: На всякий случай — доказательство вроде есть в Люстернике-Соболеве, стр 94, правда оно несколько другое вроде

В обратную: пусть [math] V [/math] — ограниченная выпуклая окрестность нуля. [math] W [/math] — радиальная уравновешенная) окрестность 0: [math] W \subset V [/math], [math] \mathrm{Cov} W [/math] — выпуклая оболочка множества [math] W [/math], [math] V [/math] — выпуклая, [math] \mathrm{Cov} W \subset V [/math], [math] \mathrm{Cov} W [/math] — радиальное уравновешенное множество, так как [math] W [/math] — такое же. Из ограниченности [math] V [/math] следует ограниченность [math] \mathrm{Cov} W [/math], то есть, мы построили [math] V^* = \mathrm{Cov} W [/math] — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность [math] 0 [/math].

[math] V^* \to p_{V^*} [/math] — функционал Минковского — полунорма. [math] V^* [/math] ограничено, тогда [math] \{ {1 \over n} V^* \} [/math] — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то [math] \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \implies p_{V^*}(x) = 0 \implies x = 0 [/math], то есть [math] p_{V^*} [/math] — норма, а [math] \{ {1 \over n} V^*\} [/math] — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
[math]\triangleleft[/math]