1302
правки
Изменения
м
Нет описания правки
*: Если <tex> x \to x_0, y \to y_0 </tex>. <tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0 </tex>. <tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v) </tex>, где по свойствам предела <tex> (u + v) \to 0 </tex>, что и требуется.
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br/> 1) <tex>\alpha x_0</tex> из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.<br/> 2) <tex>\alpha \to 0 \implies |\alpha| \le 1,</tex>, по условию теоремы<tex> \exists U(0)</tex> — уравновешенное <tex> \implies \alpha U(0) \subset U(0) \implies \alpha u \to 0 </tex>.<br/> 3) по условию теоремы <tex>\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \implies 2U_1(0) \subset U(0)</tex>. Раз <tex>U_1(0)</tex> — окрестность 0 <tex> \implies \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \implies 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)</tex>
<tex> \implies \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{n_1}} | < 1 \implies </tex> если <tex>u \in U_{n_1}(0), 2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \implies 2^{n_1} u \in U(0) \implies {\lambda_0 \over 2^{n_1}} 2^{n_1} u \in U(0) \implies \lambda_0 u \in U \implies \lambda_0 u \to 0</tex>.
