Транзитивное замыкание — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 15: Строка 15:
 
* <tex>R \subset R^+</tex> по определению <tex>R^+</tex>
 
* <tex>R \subset R^+</tex> по определению <tex>R^+</tex>
 
* <tex>R^+</tex> транзитивно. Пусть <tex>a R^+ b</tex> и <tex>b R^+ c</tex>. Это значит, что существуют <tex> i, j </tex> такие, что <tex>a R^i b</tex> и <tex>b R^j c</tex>. Но тогда <tex>a R^{i+j} c</tex>, и, так как <tex>R^{i+j} \subset R^+</tex>, то <tex>a R^+ c</tex>
 
* <tex>R^+</tex> транзитивно. Пусть <tex>a R^+ b</tex> и <tex>b R^+ c</tex>. Это значит, что существуют <tex> i, j </tex> такие, что <tex>a R^i b</tex> и <tex>b R^j c</tex>. Но тогда <tex>a R^{i+j} c</tex>, и, так как <tex>R^{i+j} \subset R^+</tex>, то <tex>a R^+ c</tex>
* <tex>R^+</tex> {{---}} минимальное отношение, удовлетворяющее представленным требованиям. Пусть <tex>T</tex> {{---}} транзитивное отношение, содержащее <tex>R</tex> в качестве подмножества. Покажем, что <tex>R^+ \subset T</tex>. <tex>R \subset T \Leftrightarrow R^i \subset T</tex> для любого натурального <tex>i</tex>. Докажем это по индукции. <tex>R^1 = R \subset R^+</tex>, как было показано выше. Пусть верно для любого <tex>i \le k</tex>. Пусть <tex>a R^{k+1} c</tex>. Но тогда существует <tex>b: aR^kb</tex> и <tex>bRc</tex>, но <tex>R \subset T, R^k \subset T</tex>, следовательно <tex>aTb, bTc</tex>. Из транзитивности <tex>T</tex> следует, что <tex>aTc</tex>, следовательно <tex>R^{k+1} \subset T</tex>.
+
* <tex>R^+</tex> {{---}} минимальное отношение, удовлетворяющее представленным требованиям. Пусть <tex>T</tex> {{---}} транзитивное отношение, содержащее <tex>R</tex> в качестве подмножества. Покажем, что <tex>R^+ \subset T</tex>. <tex>R \subset T \Leftrightarrow R^i \subset T</tex> для любого натурального <tex>i</tex>. Докажем это по индукции. <tex>R^1 = R \subset R^+</tex>, как было показано выше. Пусть верно для любого <tex>i \leqslant k</tex>. Пусть <tex>a R^{k+1} c</tex>. Но тогда существует <tex>b: aR^kb</tex> и <tex>bRc</tex>, но <tex>R \subset T, R^k \subset T</tex>, следовательно <tex>aTb, bTc</tex>. Из транзитивности <tex>T</tex> следует, что <tex>aTc</tex>, следовательно <tex>R^{k+1} \subset T</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
== Построение транзитивного замыкания ==
 
== Построение транзитивного замыкания ==
Представленное доказательство указывает на способ построения транзитивного замыкания, а также позволяет определить транзитивное замыкание отношения <tex>R</tex> как отношение <tex>T</tex> такое, что <tex>aTb</tex> тогда и только тогда, когда существуют <tex>x_1, x_2, \ldots, x_n</tex> такие, что <tex>aRx_1</tex>, <tex>x_1Rx_2</tex>, <tex>x_2Rx_3</tex>, \ldots, <tex>x_{n-1}Rx_n</tex>, <tex>x_nRb</tex>, то есть существует путь из вершины <tex>a</tex> в вершину <tex>b</tex> по рёбрам графа отношения.
+
Представленное доказательство указывает на способ построения транзитивного замыкания, а также позволяет определить транзитивное замыкание отношения <tex>R</tex> как отношение <tex>T</tex> такое, что <tex>aTb</tex> тогда и только тогда, когда существуют <tex>x_1, x_2, \ldots, x_n</tex> такие, что <tex>aRx_1, x_1Rx_2, x_2Rx_3, \ldots, x_{n-1}Rx_n, x_nRb</tex>, то есть существует путь из вершины <tex>a</tex> в вершину <tex>b</tex> по рёбрам графа отношения.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема

Текущая версия на 15:05, 28 декабря 2017

Определение:
Транзитивным замыканием (англ. transitive closure) [math]\mathrm{TrCl}(R)[/math] отношения [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется пересечение всех транзитивных отношений, содержащих [math]R[/math] как подмножество (иначе, минимальное транзитивное отношение, содержащее [math]R[/math] как подмножество).

Например, если [math]V[/math] — множество городов, и на них задано отношение [math]R[/math], означающее, что если [math]x R y[/math], то "существует автобусный маршрут из [math] x[/math] в [math] y[/math]", то транзитивным замыканием этого отношения будет отношение "существует возможность добраться из [math] x[/math] в [math] y[/math], передвигаясь на автобусах".

Существование и описание[править]

Транзитивное замыкание существует для любого отношения. Для этого отметим, что пересечение любого множества транзитивных отношений транзитивно. Более того, обязательно существует транзитивное отношение, содержащее [math]R[/math] как подмножество (например, [math]X \times X[/math]).

Теорема:
Докажем, что [math]R^+[/math] является транзитивным замыканием отношения [math]R[/math].
[math]R^+ = \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} R^i[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • [math]R \subset R^+[/math] по определению [math]R^+[/math]
  • [math]R^+[/math] транзитивно. Пусть [math]a R^+ b[/math] и [math]b R^+ c[/math]. Это значит, что существуют [math] i, j [/math] такие, что [math]a R^i b[/math] и [math]b R^j c[/math]. Но тогда [math]a R^{i+j} c[/math], и, так как [math]R^{i+j} \subset R^+[/math], то [math]a R^+ c[/math]
  • [math]R^+[/math] — минимальное отношение, удовлетворяющее представленным требованиям. Пусть [math]T[/math] — транзитивное отношение, содержащее [math]R[/math] в качестве подмножества. Покажем, что [math]R^+ \subset T[/math]. [math]R \subset T \Leftrightarrow R^i \subset T[/math] для любого натурального [math]i[/math]. Докажем это по индукции. [math]R^1 = R \subset R^+[/math], как было показано выше. Пусть верно для любого [math]i \leqslant k[/math]. Пусть [math]a R^{k+1} c[/math]. Но тогда существует [math]b: aR^kb[/math] и [math]bRc[/math], но [math]R \subset T, R^k \subset T[/math], следовательно [math]aTb, bTc[/math]. Из транзитивности [math]T[/math] следует, что [math]aTc[/math], следовательно [math]R^{k+1} \subset T[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Построение транзитивного замыкания[править]

Представленное доказательство указывает на способ построения транзитивного замыкания, а также позволяет определить транзитивное замыкание отношения [math]R[/math] как отношение [math]T[/math] такое, что [math]aTb[/math] тогда и только тогда, когда существуют [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] такие, что [math]aRx_1, x_1Rx_2, x_2Rx_3, \ldots, x_{n-1}Rx_n, x_nRb[/math], то есть существует путь из вершины [math]a[/math] в вершину [math]b[/math] по рёбрам графа отношения.

Теорема:
Если [math]R[/math] — отношение на конечном множестве размера n, то транзитивным замыканием такого отношения будет отношение
[math]T = \bigcup\limits_{i = 1}^{n} R^i[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Действительно, если по рёбрам графа есть путь длины [math]l \gt n[/math], то он проходит по всем вершинам графа, а, значит, в этом пути есть цикл и его можно отбросить, тем самым уменьшив длину пути. Длину пути можно уменьшать до того, пока она не будет не превосходить количество вершин графа (элементов множества), а значит, все пути длины более, чем [math]n[/math] можно "выкинуть" из объединения.
[math]\triangleleft[/math]

Для построения транзитивного замыкания отношения, заданного матрицей смежности, используется алгоритм Флойда — Уоршелла.

Свойства транзитивного замыкания[править]

  • Транзитивное замыкание рефлексивного отношения рефлексивно, так как транзитивное отношение содержит исходное отношение
  • Транзитивное замыкание симметричного отношения симметрично. Действительно, пусть [math]aTb[/math], значит существуют [math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math] такие, что [math]aRx_1, x_1Rx_2, \ldots, x_nRb[/math]. Но из симметричности отношения [math]R[/math] следует [math]bRx_n, x_nRx_{n-1}, \ldots, x_1Ra[/math], а, следовательно, [math]bTa[/math]
  • Транзитивное замыкание не сохраняет антисимметричность, например, для отношения [math]\{(a, b), (b, c), (c, a)\}[/math] на множестве [math]\{a, b, c\}[/math]
  • Транзитивное замыкание транзитивного отношения — оно само

Рефлексивно-транзитивное замыкание[править]

Отношение [math]R^* = R^+ \cup R^0[/math], где

[math]R^0 = \{(e, e) | e \in X\}[/math]

иногда называют рефлексивно-транзитивным замыканием, хотя часто под "транзитивным замыканием" подразумевается именно [math]R^*[/math]. Обычно различия между этими отношениями не являются значительными.

См. также[править]

Источники информации[править]