Редактирование: Триангуляция полигонов (ушная + монотонная)

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 257: Строка 257:
 
Доказательство будем вести по индукции. Базовый случай: <tex>n = 4</tex>. Предположим для всех многоугольников, количество вершин в которых не больше <tex>n</tex>, теорема верна. Рассмотрим многоугольник <tex>P</tex>, в котором <tex>n+1</tex> вершина. Далее возможны два случая:
 
Доказательство будем вести по индукции. Базовый случай: <tex>n = 4</tex>. Предположим для всех многоугольников, количество вершин в которых не больше <tex>n</tex>, теорема верна. Рассмотрим многоугольник <tex>P</tex>, в котором <tex>n+1</tex> вершина. Далее возможны два случая:
 
[[Файл:Ear case1.jpg‎|300px|thumb|left|Случай, когда <tex>v_i</tex> является ухом в <tex>P</tex>]]
 
[[Файл:Ear case1.jpg‎|300px|thumb|left|Случай, когда <tex>v_i</tex> является ухом в <tex>P</tex>]]
* Произвольная выпуклая вершина <tex>v_i</tex> многоугольника <tex>P</tex> является ухом. Отрезав это ухо, мы уменьшим число вершин <tex>P</tex> на одну. В результате, получиv <tex>n</tex>-вершинный многоугольник <tex>P'</tex>. По предположению индукции у него существует два непересекающихся уха. Учитывая, что уши <tex>P'</tex> являются ушами и <tex>P</tex>, несложно заметить, что для <tex>P</tex> теорема верна.
+
* Произвольная вершина <tex>v_i</tex> многоугольника <tex>P</tex> является ухом. Отрезав это ухо, мы уменьшим число вершин <tex>P</tex> на одну. В результате, получиv <tex>n</tex>-вершинный многоугольник <tex>P'</tex>. По предположению индукции у него существует два непересекающихся уха. Учитывая, что уши <tex>P'</tex> являются ушами и <tex>P</tex>, несложно заметить, что для <tex>P</tex> теорема верна.
  
* Произвольная выпуклая вершина <tex>v_i</tex> многоугольника <tex>P</tex> не является ухом. В таком случае в треугольнике <tex>\Delta v_{i-1}v_{i}v_{i+1}</tex> лежат вершины, принадлежащие <tex>P</tex>. Из этих вершин выберем вершину <tex>q</tex>, которая будет ближе всего к <tex>v_i</tex>. Проведём отрезок <tex>Q</tex>, который разделит <tex>P</tex> на два многоугольника: <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex>. В каждом из них будет не более <tex>n</tex> вершин, следовательно у каждого будет по два непересекающихся уха. Даже если предположить, что ухо из <tex>P_1</tex> и ухо из <tex>P_2</tex> будут пересекаться по стороне <tex>v_{i}q</tex>, в <tex>P</tex> всё равно будет не менее двух непересекающихся ушей.
+
* Произвольная вершина <tex>v_i</tex> многоугольника <tex>P</tex> не является ухом. В таком случае в треугольнике <tex>\Delta v_{i-1}v_{i}v_{i+1}</tex> лежат вершины, принадлежащие <tex>P</tex>. Из этих вершин выберем вершину <tex>q</tex>, которая будет ближе всего к <tex>v_i</tex>. Проведём отрезок <tex>Q</tex>, который разделит <tex>P</tex> на два многоугольника: <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex>. В каждом из них будет не более <tex>n</tex> вершин, следовательно у каждого будет по два непересекающихся уха. Даже если предположить, что ухо из <tex>P_1</tex> и ухо из <tex>P_2</tex> будут пересекаться по стороне <tex>v_{i}q</tex>, в <tex>P</tex> всё равно будет не менее двух непересекающихся ушей.
 
[[Файл:Ear_case2.jpg|400px|thumb|center|Случай, когда <tex>v_i</tex> не является ухом в <tex>P</tex>. Желтым и зелёным отмечены уши, принадлежащие <tex>P_2</tex> и <tex>P_1</tex> соответственно.]]
 
[[Файл:Ear_case2.jpg|400px|thumb|center|Случай, когда <tex>v_i</tex> не является ухом в <tex>P</tex>. Желтым и зелёным отмечены уши, принадлежащие <tex>P_2</tex> и <tex>P_1</tex> соответственно.]]
 
}}
 
}}

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: